Ipotesi teorema di trasformazione di Fourier di derivate

[Reyzet]

Ciao, ho un dubbio.
Guardando sui miei appunti di analisi complessa, mi trovo il teorema di trasformazione di Fourier di una derivata:
Sia $f\in L^1(\mathbb{R})$, tale che esistano (q.o.) le sue derivate fino alla n-esima, tutte in $L^1(\mathbb{R})$. Allora $F(f^((n))(x))(\xi)=(2i\pi)^n \xi^n F(f(x))(\xi)$ (con F denoto la trasformazione di Fourier).

Ora leggo sui suddetti che queste ipotesi in realtà non sono sufficienti. Infatti per dimostrarlo utilizza (lavorando per esempio per n=1) l'integrazione per parti (che vale comunque per funzioni $C^1$ o al massimo regolari a tratti, se non sbaglio). Inoltre per annullare il termine che esce integrando per parti suppone di poter scrivere $\lim_{x\to \+infty}f(x)=f(0)+\int_{(0,+\infty)}f'(x)dx $ (e qui mi parla di funzioni assolutamente continue, che non conosco).

Gli appunti non sono troppo chiari, qualcuno ha un'idea di quali ipotesi precise si debbano mettere e perché?

[dissonance]

Si può prendere per definizione che una funzione è assolutamente continua se e solo se la formula fondamentale del calcolo integrale, che hai scritto, vale. In realtà tu la hai scritta un po' male, la aggiusto:
\[
f(x)=f(0)+\int_0^x f'(y)\, dy.\]
Questa è l'ipotesi minima per poter parlare di integrazione per parti, che è esattamente ciò di cui hai bisogno per la tua formula con la trasformata di Fourier. Tutte le funzioni derivabili che incontri nella pratica sono assolutamente continue.

[Reyzet]

Ok, grazie mille.

La formula che ho scritto l'ho presa dagli appunti ma dovrebbe valere comunque perché in ogni caso $f' \in \L^1$, giusto?

[dissonance]

Non solo, quello non è sufficiente.

[Reyzet]

Che altre ipotesi ci vogliono per farla valere?

[dissonance]

https://en.wikipedia.org/wiki/Absolute_ ... _functions