Funzione meromorfa identicamente nulla.

[3m0o]

Sia \( \mathbb{D} \subset U\) un semplicemente connesso e \( f : U \to \mathbb{C}\) meromorfa tale che non ha singolarità nel disco unitario, è vero che se \( \left| f(z) \right| = o(\left| z^{1/z} \right|) \) quando \( z \to 0 \), \( f \) è costante?

Direi di sì.
Infatti \( \left| f(z) \right| = o(\left| z^{1/z} \right|) \) vuol dire che a partire da un certo \( N \in \mathbb{N} \) abbiamo che \( \forall n \geq N \)
\[ \left| f(1/n) \right| \leq \frac{1}{n^n} \]
siccome la \( f \) è olomorfa in \( \mathbb{D} \) possiamo dire che \( f(0)=0 \).
Pertanto abbiamo che in \( \mathbb{D} \) la \( f \) è scrivibile come \( f(z)=z^k g(z) \) dove \( k \) è l'ordine dello zero e \( g(0) \neq 0 \) ed è olomorfa sul disco.
Allora per \( n \geq N \)
\[ \left| f(1/n) \right| = \frac{1}{n^k} \left| g(z) \right| \leq \frac{1}{n^n} \]
Dunque
\[ \left| g(z) \right| \leq \frac{n^k}{n^n} = n^{k-n} \]
siccome è verificato per ogni \( n \geq N \) preso allora a partire da un certo punto risulta che \( n^{k-n} < \frac{1}{n} \)
Dunque per continutià di \( g \) abbiamo che \( g(0)=0 \) e quindi \( f \) identicamente nulla sul disco.
Pertanto per il principio degli zeri isolati è identicamente nulla su \( U \setminus \operatorname{sing}(f) \) dove con \( \operatorname{sing}(f) \) intendo l'insieme delle singolarità di \( f \).

Sia pertanto \(z_0 \in \operatorname{sing}(f) \) e supponiamo sia un polo di ordine \( m \).
Allora abbiamo che \( \lim_{z \to t_0} \left| f(z) \right| = \infty \) ma questo è assurdo in quanto \( f = 0 \) pertanto abbiamo che le singolarità della \( f \) sono eliminabili e valgono 0.
Quindi \( f \) è identicamente nulla.