Funzione olomorfa in un "punto" il cui residuo è diverso da zero.

[3m0o]

Sono confuso.
\( f(z)=1/z \) ha un polo semplice in \(0 \) il cui residuo è \( 1 \).
\( f(1/z) = z \) dovrebbe essere analitica in \( 0 \) e senza residuo, pertanto la funzione \( f(z) \) dovrebbe essere essere analitica all'infinito pertanto avere residuo \(0 \).
Ma \( res(f,\infty)=res( -f(1/z)/z^2,0 ) = - res(1/z,0)= -1 \)...
Se è analitica all'infinito non dovrebbe avere residuo \(0 \) ?

[dissonance]

Che cosa significa "analitica all'infinito"?

[3m0o]

Immagino che sbaglio ma \( f(z) \) analitica "all infinito" se \( f(1/z) \) analitica in \( 0 \)? In ogni caso la serie di Laurenta all infinito della funzione \( f(z) \) è quella di \( f(1/z) \) centrata in zero. Quindi per il residuo all infinito non è vero che corrisponde al coefficiente \( a_{-1} \) del suo sviluppo in serie di Laurent.
https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=54&t=205150

[3m0o]

Ho trovato una risposta su Math Stack Exchange ma ci ho capito proprio poco, soprattutto quando dice che le funzioni non possiedono residui ma a possederli sono i differenziali. Credo siano cose un po' troppo avanzate per me.
https://math.stackexchange.com/questions/311701/singularities-at-infinity

[dissonance]

Infatti, non correre. Attieniti solo alle definizioni. L'unica definizione che hai è quella di "residuo all'infinito", e basta, non introdurre cose nuove.

L'unica cosa che posso aggiungere è che io, per ricordare la formula del residuo all'infinito, preferisco considerare \(f(z)dz\), e cambiare variabile \(w=\frac1z\), cosicché \(f(z)dz=-\frac1{w^2}f(\frac1w)dw.\) E' più che altro una tecnica mnemonica.

(In seguito immagino studierai la sfera di Riemann e tutta una serie di cose interessantissime sulle funzioni analitiche ad infinito, ma per il momento mi pare che tu abbia già abbastanza cose da imparare).

[3m0o]

Infatti, non correre. Attieniti solo alle definizioni. L'unica definizione che hai è quella di "residuo all'infinito", e basta, non introdurre cose nuove.

L'unica cosa che posso aggiungere è che io, per ricordare la formula del residuo all'infinito, preferisco considerare \(f(z)dz\), e cambiare variabile \(w=\frac1z\), cosicché \(f(z)dz=-\frac1{w^2}f(\frac1w)dw.\) E' più che altro una tecnica mnemonica.

(In seguito immagino studierai la sfera di Riemann e tutta una serie di cose interessantissime sulle funzioni analitiche ad infinito, ma per il momento mi pare che tu abbia già abbastanza cose da imparare).

Ma a dire il vero l'abbiamo già trattato qualcosina (ma pochi risultati abbiamo visto) sulla sfera di Riemann:

Se \(f \) è una funzione olomorfa definita in un intorno di infinito possiamo parlare di olomorfia o meromorfia nel punto \( \infty \)
Definizioni 227:
Sia \( f: U \to \mathbb{C} \) una funzione definita su \( A(0,r,\infty) \subset U \) per un \( r > 0 \)
-Diciamo che \( f \) olomorfa all'infinito se \( \omega \mapsto f(1/\omega) \) ha una singolarità eliminabile in \(0\).
-Diciamo che \( f \) meromorfa all'infinito, con polo di ordine \(n\), se \( \omega \mapsto f(1/\omega) \) ha un polo di ordine \(n\) in \(0\).
-Diciamo che \( f \) ha una singolarità essenziale all'infinito se \( \omega \mapsto f(1/\omega) \) ha una singolarità essenziale in \(0\).

Con queste definizioni direi che \( f(z)=1/z \) è olomorfa all'infinito e ha residuo \(-1\).