Massimi e minimi locali.

[3m0o]

È vero che se \( f: U \to \mathbb{C} \) è una funzione olomorfa non costante definita su un aperto connesso, allora la parte reale e immaginaria di \( f \) non possiede massimi ne minimi in \( U \).
Secondo me sì:
Abbiamo che \( e^{f(z)} \), è olomorfa su \( U \) inoltre \(\left| e^{f(z)} \right| = e^{\Re(f)} \) è una funzione reale definita su un aperto quindi siccome la funzione \( x \mapsto e^x \) è monotona crescente abbiamo che non possiede massimi sull'aperto. Per il minimo è sufficiente porre \( e^{-f(z)} \), per la parte immaginaria rimpiazziamo \( f \) con \(i f \).
O alternativamente avremmo potuto assumere che \( \Re(f) \) possiede un massimo, diciamo \(M\), sull aperto e quindi esiste un punto di \(z_0\in U \) in cui \( \left| e^{f(z_0)} \right| \geq \left| e^{f(z)} \right| \) in un suo intorno e quindi \( e^f \) costante per il principio del massimo.

Inversamente su un compatto sono sempre raggiunti poiché \( e^{\Re(f)} \) raggiunge un massimo sul compatto per Weierstrass.

Se l'aperto non è connesso è falso (come il principio del massimo) poiché se considero \( D(0,\delta) \) e \(D(1,\delta) \) tale che sono due dischi disgiunti e definiamo la funzione olomorfa \( f(z) =0 \) se \( z \in D(0,\delta) \) e \( f(z) =1 \) se \( z \in D(1,\delta) \) la funzione è non costante e il modulo possiede un massimo locale in ogni punto di \( D(1,\delta) \).

[dissonance]

Si, questo è il principio del massimo per le funzioni armoniche; la parte reale e la parte immaginaria di una funzione olomorfa sono funzioni armoniche. La tua dimostrazione mi sembra corretta.