Appartenenza a spazi vari dalla serie di Fourier

Buondì, ho qui un esercizio che mi sta creando qualche problema.

Siano $f, g, h$ funzioni definite su $[0,2pi]$le cui serie di Fourier sono date da:
$f(x): sum_(n=1)^(oo)1/sqrtnsin(nx) ;$
$ g(x): sum_(n=1)^(oo)1/(n^2+1)cos(nx)+1/n^4sin(nx) ;$
$ h(x): sum_(n=1)^(oo)1/2^n cos(nx)$

Mi viene chiesto di valutare con meno conti possibili l'appartenenza delle funzioni originali a $L^2, C^k$ e la loro convergenza uniforme a $f, g,h$. Non so bene "dove" cercare le risposte in una serie di Fourier.

Mi pare che la serie di Fourier di una $f in L^2$ sia scritta come combinazione lineare dei vettori di base del sistema ortonormale trigonometrico, ma non so come dimostrare che le tre forme di cui sopra rispettino o meno il requisito.

Grazie

Puoi cominciare dall'identità di Parseval. Inoltre la "velocità" con cui i coefficienti della serie di Fourier vanno a \(0\) è legata alla regolarità di \(f\); come?