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C'è un modo "ovvio" per trovare le soluzioni del sistema \[J \dot{u} + c \alpha |u|^{\alpha -2 } u = 0 \quad (*) \]dove \(c>0\), \( \alpha > 1 \), \( u=u(t) \in C^1 (\mathbb{R}; \mathbb{R}^{2N}) \) e \(J \) è la matrice simplettica?

Nel libro si dice più volte che \( u(t) = \cos( \omega t)\xi + \sin(\omega t) J \xi \) con \( \xi \in \mathbb{R}^{2N}\) risolve \( (*)\), ma come ci si arriva?

Cercare una soluzione di modulo 1 ti toglie di mezzo \(|u|\), e a quel punto l'equazione diventa \(\dot u - \omega Ju=0\) (perché \(J^{-1}=-J\), in analogia con \(\sqrt{-1}^{-1}=-\sqrt{-1}\)). Adesso,
\[
e^{\omega J t} = \cos (\omega t)I + J\sin(\omega t)
\] (perché l'esponenziale di una matrice antisimmetrica è ortogonale). Non è quello che hai scritto tu, ma ci somiglia, e forse bodgeare questa soluzione te ne dà una per la tua equazione!

"Bodgeare"=?

Penso che obnoxious abbia dimenticato di specificare che \(\lvert \xi\rvert=1\). Se è così, le soluzioni del libro sono tutte e sole quelle trovate correttamente da solàal. Non mi sembra proprio che, se \(\lvert\xi\rvert\ne1\), \(e^{\omega J t}\xi\) sia una soluzione dell'equazione data.

A volte, quando si programma, un "bodge" è una soluzione che dal lato di chi deve usare il codice funziona senza che si noti nulla di strano, ma che dal lato di chi lo ha scritto è tenuta insieme con lo sputo e senza nessun rispetto per l'estetica.

Insomma, il "pezzotto"...

solaàl ha scritto:Cercare una soluzione di modulo 1 ti toglie di mezzo \(|u|\), e a quel punto l'equazione diventa \(\dot u - \omega Ju=0\) (perché \(J^{-1}=-J\), in analogia con \(\sqrt{-1}^{-1}=-\sqrt{-1}\)). Adesso,
\[
e^{\omega J t} = \cos (\omega t)I + J\sin(\omega t)
\] (perché l'esponenziale di una matrice antisimmetrica è ortogonale). Non è quello che hai scritto tu, ma ci somiglia, e forse bodgeare questa soluzione te ne dà una per la tua equazione!

Ok sì, si fa praticamente così. Il trucco qui - e non me n'ero accorto - è che l'Hamiltoniana, che è \( H(u)=c |u|^\alpha \), è costante lungo le soluzioni. Se \( u \) è una soluzione e \( u(0) = \xi\), allora \( |u(t)| = |\xi| \) per ogni \(t\). Il resto sono conti.

Ho capito. L'unica cosa da specificare è che \(\omega\) dipende da \(\lvert \xi \rvert\). Altrimenti la soluzione sarebbe lineare in \(\xi\).

solaàl ha scritto:Adesso,
\[
e^{\omega J t} = \cos (\omega t)I + J\sin(\omega t)
\] (perché l'esponenziale di una matrice antisimmetrica è ortogonale).

Sono d'accordo con la formula, ma per curiosità, cosa volevi dire con il commento in parentesi? Secondo me, l'esponenziale ha quella forma perché \(J^2=-I\), e quindi
\[
e^{\omegaJt}= \sum_{n=0}^\infty \frac{J^n \omega^n t^n}{n!}=\sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{\omega^{2k}t^{2k}}{(2k)!} + J\sum_{k=0}^\infty (-1)^k\frac{\omega^{2k+1}t^{2k+1}}{(2k+1)!}.\]
Ora non so se c'è una spiegazione più intrinseca.

E' la seconda volta in due giorni che mi fai una domanda di algebre di Lie conosci l'Hall (Lie groups, Lie algebras and representation)?

Metti insieme i pezzi: \((e^A)^t=e^{A^t}=e^{-A}=(e^A)^{-1}\), per ogni gruppo di Lie \(G\) la mappa esponenziale \(e : \mathfrak g \to G\) assume valori nella componente connessa di \(1_G\), e quindi \(e^A\) appartiene allo spazio delle matrici ortogonali a determinante 1, ossia \(SO(n)\).

Ah era solo questo. Pensavo fosse una spiegazione senza serie di potenze della formula con seno e coseno.

conosci l'Hall (Lie groups, Lie algebras and representation)?

Si.

dissonance ha scritto:Ah era solo questo. Pensavo fosse una spiegazione senza serie di potenze della formula con seno e coseno.

E' esattamente quello che è, dato che ogni elemento di $SO(2)$ si rappresenta come $\cos\alpha I_2 + \sin \alpha J_2$ per un unico numero reale $\alpha \in [0,2\pi)$...