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Risoluzione di una EDO con trasformata di Laplace
Inviato:
15/02/2020, 20:22
da astrolabio95
Salve a tutti,
sono dinanzi al seguente problema di Cauchy
$ { ( y''+2y'+2y=e^(-x) ),( y(0)=2), (y'(0) =0):} $
Vado a trasformare ed ottengo
$ Y(s) = (2s^2+6s+5)/((s+1)(s^2+2s+2) $
che ho riscritto come
$ Y(s) = (2s^2+6s+5)/((s+1)(s+1-i)(s+1+i) $
Adesso mi chiedo se fosse possibile manipolare un po' questa espressione per ricondurmi alla trasformata di seno e coseno, senza passare per i fratti semplici o i residui.
Grazie
Re: Risoluzione di una EDO con trasformata di Laplace
Inviato:
16/02/2020, 02:04
da pilloeffe
Ciao astrolabio95,
Beh no, riscrivila così:
$ Y(s) = (2s^2+6s+5)/((s+1)(s^2+2s+2)) = 1/(s + 1) + (s + 3)/(s^2+2s+2) = 1/(s + 1) + ((s + 1) + 2)/((s+1)^2 + 1) = $
$ = 1/(s + 1) + (s + 1)/((s+1)^2 + 1) +2/((s+1)^2 + 1) $
Antitrasformando si ha:
$y(t) = e^{-t} + e^{-t} cos t + 2 e^{-t} sin t = e^{-t}(2 sin t + cos t + 1) $
Re: Risoluzione di una EDO con trasformata di Laplace
Inviato:
16/02/2020, 09:37
da astrolabio95
Ciao ti ringrazio per la risposta.
Unica cosa che riesco a capire poco è la decomposizione del numeratore in quelle due quantità
Re: Risoluzione di una EDO con trasformata di Laplace
Inviato:
16/02/2020, 11:21
da astrolabio95
Credo di aver capito, si tratta di una fattorizzazione, giusto?
Tipo
$ A/(s+1) + (Bs+C)/(s^2+2s+2) $
e poi si usa il criterio di uguaglianza dei polinomi
Re: Risoluzione di una EDO con trasformata di Laplace
Inviato:
16/02/2020, 11:24
da pilloeffe
astrolabio95 ha scritto:Ciao ti ringrazio per la risposta.
Prego.
astrolabio95 ha scritto:Unica cosa che riesco a capire poco è la decomposizione del numeratore in quelle due quantità
Beh, si tende a decomporre in modo da ottenere fratti di cui sia ben nota l'antitrasformata: puoi dare un'occhiata ad esempio alla tabella che compare
qui.
astrolabio95 ha scritto:Tipo
$A/(s+1)+(Bs+C)/(s^2+2s+2)$
e poi si usa il criterio di uguaglianza dei polinomi
Yesss...
Re: Risoluzione di una EDO con trasformata di Laplace
Inviato:
16/02/2020, 11:33
da astrolabio95
Grazie ancora, mi è tutto chiarissimo