Eq diff. a derivate parziali: metodo delle caratteristiche

[Marthy_92]

Buonasera, ho svolto un esercizio ma non sono convinta del risultato.
Riporto testo e svolgimento

Risolvere il seguente problema di Cauchy usando il metodo delle caratteristiche
$ { ( xu_x + yu_y+zu_z =1),( u(x,y,z_0)=u_0(x,y) ):} $

Ho considerato la parametrizzazione del problema
$ \pi: { ( x=p),( y=q),(z=z_0):} $ e il relativo dato iniziale $ u|_{\pi}=u_0(p,q) $
Dunque ho scritto il sistema che fornisce le curve caratteristiche
$ { ( \frac{dx}{d\tau}=x),( \frac{dy}{d\tau}=y),(\frac{dz}{d\tau}=z):} $
e lo ho integrato, tenendo conto delle condizioni iniziali per $\tau=0$, ottenendo:
$ { ( x=pe^{\tau}),(y=qe^{\tau} ),(z=z_0e^{\tau}):} \Rightarrow
{ ( p=\frac{x}{e^\tau}),( q=\frac{y}{e^\tau}),(e^\tau = \frac{z}{z_0}):} $

L'ultima equazione $\frac{du}{d\tau}=1$, fornisce la relazione
$u= \tau + u_0(p,q) =u(p,q,\tau)$

Dunque la soluzione, nelle variabili $x,y,z$ sarebbe
$u(x,y,z)= log (\frac{z}{z_0}) + u_0 (\frac{x}{\frac{z}{z_0}},\frac{y}{\frac{z}{z_0}}) $
che soddisfa il dato iniziale ma non sono sicura soddisfi l'equazione differenziale.
Mi sono incartata nel calcolare le derivate miste della funzione $u(x,y,z)$
Mi aiutate?

[Raptorista]

Moderatore: Raptorista

Sposto da Analisi di base.

[anonymous_0b37e9]

$u=log(z/z_0)+u_0((z_0x)/z,(z_0y)/z) rarr$

$ rarr [(delu)/(delx)=z_0/z(delu_0)/(dela)] ^^ [(delu)/(dely)=z_0/z(delu_0)/(delb)] ^^ [(delu)/(delz)=1/z-(z_0x)/z^2(delu_0)/(dela)-(z_0y)/z^2(delu_0)/(delb)] rarr$

$ rarr x(delu)/(delx)+y(delu)/(dely)+z(delu)/(delz)=1$

... sono incartata nel calcolare le derivate miste ...

Probabilmente intendevi le tre derivate parziali prime di cui sopra, non quelle miste che, per definizione, sono necessariamente derivate parziali seconde.