Calcolo integrale con il Teorema dei residui

[dissonance]

Comunque vedo che sul calcolo del residuo della singolarità essenziale sei andato piuttosto lontano. Resta solo da sviluppare in serie di Taylor
\[
\frac1z\frac1{z-5}=\sum_{n=0}^\infty a_n (z-1)^n, \]
calcolando i coefficienti. Mi ci dovrei mettere un po' su con carta e penna però e adesso non posso proprio.

Prima ho scritto che è una cosa inutile, ma non è vero, fai bene ad avere questa curiosità e stai facendo un buon lavoro, nonostante i miei interventi poco concentrati che non ti stanno aiutando molto.

[Giomo97]

Comunque vedo che sul calcolo del residuo della singolarità essenziale sei andato piuttosto lontano. Resta solo da sviluppare in serie di Taylor
$1/z 1/(z−5)=sum_(n=0)^(∞)an(z−1)^n$

Ho provato a procedere nel seguente modo anche se non sono ancora arrivato ad una conclusione:

$ 1/(z(z-5)) = 1/(z(z-1-4)) = 1/(-4z(1-(z-1)/4)) = 1/(-4z) + sum _(n=0) ^(infty) ((z-1)/4)^n $
dove la serie converge per $ |z-1|<4 $ .

Quindi per ora la mia funzione risulta essere:
$ e/ (sum_(n=0)^(+infty)(4/((z-1)n!))^n) 1/(-4z) sum_(n=0)^(+infty) ((z-1)/4)^n $

Ora c'è quel $ 1/(-4z) $ che mi da problemi...


Tornando al residuo all'infinito, vorrei porti una domanda: Per tutte le funzioni è possibile calcolare il residuo all'infinito? Ho provato a rispondermi e secondo me è no. In base a come sono arrivato a definire il residuo all'infinito, se considero ad esempio la funzione $ 1/sin(z) $, questa ha tutte singolarità del tipo $ z_k= kpi AA k in Z $ per cui non posso considerare una curva che contenga tutte le singolarità e considerare il residuo all'infinito come ho fatto prima, giusto?

[dissonance]

Per quanto riguarda \(\tfrac1{-4z}\), devi usare
\[
\frac{1}{z}=\frac{1}{1+(z-1)}=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n(z-1)^n.\]
Per l'altra domanda, il punto ad infinito non è diverso dagli altri punti. Se una singolarità non è isolata, si può pure calcolare il residuo, ma non serve a nulla perché il teorema dei residui vale solo per singolarità isolate. Ne abbiamo parlato di recente con 3m0o, se ti interessa ti cerco la discussione. L'esempio che hai fatto è tale che il punto ad infinito non è una singolarità isolata.

[Giomo97]

\[ \frac{1}{z}=\frac{1}{1+(z-1)}=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n(z-1)^n. \]

Come sei arrivato a questa conclusione?? Vedo che è una serie di potenze con termine $a_n = (-1)^n $, solitamente so come ricondurmi ad una serie geometrica (ovvero un caso particolare di serie di potenze), ma in questo caso non mi sono chiari tutti i passaggi

Ti sarei molto grato se postassi la discussione che hai menzionato, ritengo che mi gioverebbe approfondire l'argomento.

[Giomo97]

Come previsto, calcolare quella singolarità con lo sviluppo in serie è una cosa proibitiva. La mia curiosità nasceva dall'esigenza di voler capire come sviluppare in serie la funzione data , nel caso dovessi rincorrere a questo metodo all'esame e quindi fare almeno un tentativo per risolvere il quesito, sperando che ci siano cose più semplici

Ti ringrazio per l'aiuto che mi hai dato

[dissonance]

Hai fatto benissimo a rincodurti al residuo all'infinito, è un buon svolgimento. Quanto alla serie geometrica, ho semplicemente usato la formula
\[
\frac{1}{1-q}=\sum_{n=0}^\infty q^n, \]
con
\[q=(-1)(z-1).\]

Ti sarei molto grato se postassi la discussione che hai menzionato, ritengo che mi gioverebbe approfondire l'argomento.

L'ho trovata ma è un po' confusa, non ti consiglio di leggerla. In ultima analisi, l'unica cosa che serve di quella discussione è questo link:

https://en.wikipedia.org/wiki/Meromorphic_function

Il teorema dei residui vale per funzioni meromorfe; ora, come puoi leggere nelle prime righe della pagina linkata, le funzioni meromorfe hanno, per definizione, solo singolarità isolate. Quindi in presenza di singolarità non isolate non si può applicare il teorema dei residui, e di conseguenza non ha neanche tanto senso classificare le singolarità.

[Giomo97]

Grazie dissonance! Tra poco ho l'esame di metodi matematici per l'ingegneria... Speriamo bene

[dissonance]

In bocca al lupo