Si munisca lo spazio vettoriale dei polinomi $X=\mathbb{R}[\lambda]$ della norma
\[
||p||=\max_{0\le \lambda \le 1}|p(\lambda)| \mbox{ dove } p=a_{0}+a_{1}\lambda+\cdots +a_{n}\lambda^{n}
\]
1) Stabilire se $X$ è uno spazio di Banach;
2) Calcolare $||D||_{op}$, dove $D$ è l'operatore di derivazione.
1) Secondo me $X$ non è di Banach. Per esempio la successione di polinomi
\[
p_{n}=\sum_{i=0}^{n}\frac{1}{i!}x^{i}
\]
è di Cauchy ma non converge ad alcun polinomio. Che sia di Cauchy dovrebbe dipendere dal fatto che $||p_{n}||=\sum_{i=0}^{n}\frac{1}{i!}$ e che la successione $\sum_{i=0}^{n}\frac{1}{i!}$ è di Cauchy con la solita distanza euclidea.
2)Per il secondo punto avevo considerato i polinomi $p_{k}=\lambda^{k}$. Per questi $||p_{k}||=1$ e $||Dp_{k}||=k$: quindi per ogni $k\in \mathbb{N}$ risulta
\[
||D||_{op}\ge \frac{||Dp^{k}||}{||p^{k}||}=k
\]
da cui $||D||_{op}=+\infty$.
Grazie
