Sia $X$ lo spazio delle successioni reali $x=(x_{1},x_{2},...)$ con la norma
\[
||x||=\sup_{n\in \mathbb{N}}|x_{n}|
\]
e si consideri la funzione $f:X^{2}\to X$ definita ponendo
\[
f(x,y)=Ay+P(x,y)
\]
dove $A$ è la matrice infinita
\[
A=\begin{pmatrix}
B & & &\\ & B & & \\ & &\ddots & \\
\end{pmatrix} \qquad B=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 1 & 1\end{pmatrix}
\]
e $P(x,y)$ è la successione $(z_{1},z_{2},...)$ con
\[
z_{n}=x_{n}\cos x_{n}+\sin y_{n}x_{n+1}
\]
Dire se l'equazione $f(x,y)=0$ definisce implicitamente una funzione $y=g(x)$ in un intorno di $(0,0)$. Calcolare poi $g'(0)[h]$.
Si tratta di verificare le ipotesi del teorema della funzione implicita.
1) Dimostro che $f$ è globalmente continua
Faccio vedere che $P$ e la funzione $h:X\to X,h(y)=Ay$ sono continue.
1a) Poiché $h$ è lineare mi basta calcolare $||A||_{op}$, dove per $A$ si intende l'operatore
\[
A(x_{1},x_{2},x_{3},...)=(x_{1},x_{1}+x_{2},x_{3},...)=x+(0,x_{2},0,x_{4},...)
\]
Osservando che $||(0,x_{2},0,x_{4},...)||$ vale al più $||x||$, otteniamo $||Ay||\le 2||x||$ e $A$ è un operatore lineare limitato.
1b) Per la continuità di $P$ ho essenzialmente usato la continuità delle funzioni $\x\to x\cos x$ e $(x,y)\to \sin xy$ e la lipschitzianetà della funzione seno e coseno. Infatti se prendo $x,x',y,y'\in X$ ho per ogni $n\in \mathbb{N}$
\[
|x_{n}\cos x_{n}-x_{n}'\cos x_{n}'|\le |x_{n}||\cos x_{n}-\cos x_{n}'|+|\cos x_{n}'||x_{n}'-x_{n}|\le |x_{n}-x_{n}'|(|x_{n}|+|\cos x_{n}'|
\]
\[
|\sin x_{n+1}y_{n}-\sin x_{n+1}'y_{n}'|\le |x_{n+1}y_{n}-x_{n+1}'y_{n}'|\le |x_{n+1}||y_{n}-y_{n}'|+|y_{n}'||x_{n+1}-x_{n+1}'|
\]
Passando alle norme dovrei ottenere la continuità di $P$ e quindi anche quella di $f$
2)$f$ è globalmente derivabile rispetto $y$ e la derivata in $(0,0)$ è invertibile
Basta far vedere che $P$ e $h$ sono derivabili rispetto $y$. $h$ lo è sicuramente perché è lineare e sappiamo che per ogni $s\in X$ si ha $h'(s)=A$. Per quanto riguarda $P$, fisso $h\in X$ e osservo che per ogni $n\in \mathbb{N}$ ho
\[
P(x,y+h)-P(x,y)=(\sin( x_{n+1}(y_{n}+h_{n})-\sin x_{n+1}y_{n})_{n\in \mathbb{N}}=\bigg(2\sin\frac{h_{n}}{2}\cos \Big(x_{n+1}y_{n}+\frac{h_{n}}{2}\Big)\bigg)_{n\in \mathbb{N}}
\]
Da qui mi accorgo che
\[
\partial_{y}P(x,y)[h]=Ch \qquad C=\begin{pmatrix}
\cos x_{2}y_{1} & & &\\ & \cos x_{3}y_{2}&&\\ &&\ddots &\end{pmatrix}
\]
Per $(x,y)=(0,0)$ abbiamo la matrice infinita identica e quindi $\partial_{y}f(0,0)=A+I$ che è invertibile se lo è $A$ e così è. In particolare
\[
A+I=\begin{pmatrix}
B+I & & &\\ & B+I &&\\ &&\ddots &\end{pmatrix} \qquad (A+I)^{-1}=\begin{pmatrix}
D & & &\\ & D & & \\ & &\ddots & \\
\end{pmatrix} \qquad D=\begin{pmatrix}1/2 & 0 \\ -1/4 & 1/2\end{pmatrix}
\]
3) $f(0,0)=0$
Chiaro.
Quindi $y=g(x)$ esiste e per calcolarne la derivata mi serve conoscere la derivata parziale rispetto $y$. Ragionando come prima mi accorgo che è
\[
\partial_{x}f(x,y)[h]=\partial_{x}P(x,y)[h]=Eh \qquad E=\begin{pmatrix}
\cos x_{1}-x_{1}\sin x_{1}+y_{1}\cos y_{1}x_{2} & & &\\ & \cos x_{2}-x_{2}\sin x_{2}+y_{2}\cos y_{2}x_{3}&&\\ &&\ddots &\end{pmatrix}
\]
Quindi $g'(0)[h]=-DEh=-Dh$ perchè $E$ in $(0,0)$ vale l'identità.
