Derivata del sup/inf convoluzione

Sia $\Omega \subseteq \mathbb{R}^n$ e $\epsilon> 0$ dato. Per $u \in C^0(\bar\Omega)$, si definisce $u^\epsilon$, la sup-convoluzione di $u$, come
$$ u^{\epsilon}(x) = \sup_{y\in \Omega} \bigg\{ u(y)-\dfrac{|x-y|^2}{2\epsilon}\bigg\},\,\,\,\,\, x\in\Omega.$$

Mostrare la seguente disuguaglianza
$$|Du^\epsilon|\leq |Du|_0$$
dove $|Du^\epsilon|$ è la norma euclidea del gradiente di $u^\epsilon$ e $|Du|_0= \sup_{i} \sup _{x\in\Omega} |D_i u(x)|$. [non capisco perchè invece del simbolo "sup" mi inserisce il simbolo "contenuto"
]
Per favore qualcuno che ci ragioni con me!

Ciao, posti sempre dei problemi abbastanza tecnici! Dunque ci sono diverse cose che non mi tornano nel testo. Allora $\Omega$ è aperto, è limitato, come è la sua frontiera? Mi pare che ci siano un po' poche informazioni in questo senso. Dopodiché, scrivi $Du$, ma quindi $u$ è derivabile in tutti i punti di $\Omega$ (ecco qui $\Omega$ aperto non sarebbe male!)? Supponendo che $\Omega$ sia aperto e limitato e che $u$ sia di classe $C^1(\Omega) \cap C^0(\bar{\Omega})$, allora la definizione mi sembra ben posta e la tesi mi pare potrebbe essere:

Dimostrare che per ogni $\epsilon >0$ vale $u^{\epsilon} \in C^1(\Omega) \cap C^0(\bar{\Omega})$ e inoltre
\[ \sup_{1 \le 1 \le n} \sup_{x \in \Omega} |D_iu(x)| \le \sup_{x \in \Omega} |Du^{\epsilon}(x)| \]
ove $D_i$ è la derivata parziale $i$-esima, $D$ è il gradiente e $|\cdot|$ è la norma euclidea.

Se ti sembra un testo plausibile possiamo ragionarci, posto che non ho idea di come si potrebbe fare

Ciao Bremen000, grazie innanzitutto per la risposta.
La verità è che sono alle prese con un articolo da portare per un esame, e purtroppo ci sono davvero poche cose dimostrate in questo articolo. Quindi spesso mi ritrovo a dover fare dei ragionamenti da solo, intraprendere varie strade (senza essere sicuro che quella sia quella giusta) per arrivare a qualche tipo di risultato. Ebbene, l'argomento di questo topic era una strada intrapesa, ma poi abbandonate. L'esame sarà la settimana prossima, quindi ora vorrei cercare di dedicarmi agli argomenti di cui sicuramente dovrò discutere. Dopo l'esame cercherò di ragionarci per chiudere il topic.
Se vuoi aiutarmi, e te ne sarei immensamente grato, avrei bisogno di una dimostrazione dell'ultimo topic da me pubblicato (Principio di massimo per subsoluzione semiconvesse)

P.S. perchè dici problemi abbastanza tecnici? Credi che magari dovrei prender le cose più "alla leggera" senza perdere tempo in questi tecnicismi? Sono alla mia prima esperienza nello studio di articoli, mi farebbero bene anche dei consigli

Ciao Bremen000, grazie innanzitutto per la risposta. [...]

Prego!

[...]
P.S. perchè dici problemi abbastanza tecnici? Credi che magari dovrei prender le cose più "alla leggera" senza perdere tempo in questi tecnicismi? Sono alla mia prima esperienza nello studio di articoli, mi farebbero bene anche dei consigli

Be' perché si vede che sono cose prese da qualche articolo o simili. Lungi da me consigliarti di saltare le cose o concludere con un "si vede", non è proprio il mio atteggiamento solito.

Io non ho una grande esperienza nello studio di articoli, sono solo al primo anno di dottorato. Tipicamente, se c'è qualcosa che mi interessa e voglio davvero capire, ho un po' l'atteggiamento da rullo-compressore: finché non ho capito tutto completamente, non mi fermo. Questo credo abbia il pregio che, una volta finito, uno ha capito davvero. Ha il difetto che richiede molto tempo e un po' di "ossessione". Insomma penso sia un atteggiamento da dosare. Poi su queste cose ci sono qui nel forum ricercatori molto più esperti di me che potranno consigliarti.