spezzare integrale prodotto

[anto_zoolander]

Ciao!
Mi è capitato sotto mano un esercizio carino e volevo capire se la dimostrazione fosse quantomeno valida

sia $(X,F,mu)$ uno spazio misura e $f,g:X->RR$ due funzioni misurabili tali che

$mu(f in A,g in B)=mu_(f)(A)*mu_(g)(B) forall A,B in B_(RR)$

allora $int_X fgdmu=int_X fdmu * int_Xgdmu$

$mu(f in A,g in B):=mu(f^(leftarrow)(A)capg^(leftarrow)(B))$
$mu_(f)(A)=mu(f^(leftarrow)(A))$

dim

suppongo che $f,g$ siano semplici e si ottiene

$int_Xfgdmu=int_Xfdmu(g)=sum_(i=1)^(n)f_i mu(g)(A_i)=sum_(i=1)^(n)f_i int_(A_i)gdmu=sum_(i=1)^(n)f_i sum_(j=1)^(m)g_j mu(A_i cap B_j)$

dove $mu(g)=int_(*)gdmu$, $A_i=f^(leftarrow)({f_i})$ e $B_j=g^(leftarrow)({g_j})$

quindi tenendo conto delle ipotesi si ha $sum_(i=1)^(n)f_imu(A_i)*sum_(j=1)g_jmu(B_j)=int_(X)fdmu*int_(X)gdmu$

poi si considera per esempio $g$ qualsiasi e $f$ semplice in modo da approssimare $g$ con funzioni semplici, usando Beppo levi, e poi si conclude praticamente allo stesso modo.

Mi sembra che il teorema valga lo stesso se si considerano soltanto i singoletti al posto di tutti gli insiemi, però è in un capitolo relativo alle variabili aleatorie indipendenti e le conseguenze su valore atteso e covarianza.

[dissonance]

Si, l'idea è quella, solo che come spesso succede con i tuoi post è di difficile lettura.

Poi non ho capito il punto fondamentale. Se \(f\) e \(g\) sono funzioni semplici, cosa significa l'ipotesi di indipendenza? (Ovvero \(\mu(f\in A, g\in B)=\mu(f\in A)\mu(g\in B)\)). Quella è la cosa più importante, ed è proprio quella che tu non hai scritto, perché dici solo "tenendo conto delle ipotesi". Inoltre, non scrivi da nessuna parte la definizione di \(f\) e \(g\). Tirando a indovinare, direi che
\[
f=\sum_{i=1}^n f_i \mathbb 1_{A_i}, \]
e similmente per \(g\). Ma è fastidioso dover tirare a indovinare, quando si legge matematica.

[anto_zoolander]

Scusami hai ragione

con $f$ semplice intendo proprio $f=sum_(i=1)^(n)f_i1_(A_i)$ e quel che succede per le funzioni semplici è proprio che

$mu(A_icapB_i)=mu(f^(leftarrow)({f_i})capg^(leftarrow)({g_j}))=mu_(f)(a_i)*mu_(g)(b_j)$

quello che mi chiedo, alla fine, è perchè usare tipo bazooka che valga per ogni insieme piuttosto che sui singoletti? sicuramente se vale su tutti allora vale anche sui singoletti ma non sono certo che il viceversa sia vero in generale.

Di fatto nella dimostrazione, sfruttando Beppo levi, nemmeno uso al 100% quella ipotesi.

[dissonance]

E $g$ chi è?

[anto_zoolander]

$g=sum_(j=1)^(m)g_j 1_(B_j)$ considerando che sono entrambe semplici e poi si continua con quanto ho fatto sopra.

Poi nel caso di una $f$ semplice e $g$ no si approssima $g$ con una successione di funzioni semplici e ci si riporta al caso di sopra. Idem nel caso di entrambe non semplici

[dissonance]

Comunque, la cosa è più probabilistica che di analisi. Infatti, le due funzioni semplici
\[
f=\sum_{j=1}^n f_j 1_{A_j}, \qquad g=\sum_{k=1}^m g_k 1_{B_k} \]
sono indipendenti se e solo se
\[\tag{1}
\mu(A_j\cap B_k)=\mu(A_j)\mu(B_k), \qquad \forall j,k.\]
Che i probabilisti leggono: la probabilità dell'evento congiunto \(A_j\) e \(B_k\) è il prodotto delle probabilità.

La (1) è la condizione minima che tu possa richiedere, non la puoi indebolire in nessun modo. Infatti, più precisamente, qualsiasi condizione su \(f, g\) tale che
\[\tag{2}
\int fg\, d\mu=\int f\, d\mu\cdot \int g\, d\mu \]
deve valere nel caso speciale di \(f=1_A, g=1_B\), per qualche insieme \(A\) e \(B\) misurabile. In questo caso, (2) diventa
\[
\int 1_{A\cap B}\, d\mu = \int 1_A\, d\mu \int 1_B\, d\mu, \]
ovvero, per definizione,
\[
\mu(A\cap B)=\mu(A)\mu(B).\]
Che è proprio la (1). Quindi, il "bazooka" a cui ti riferisci prima è proprio il minimo che si possa richiedere, per avere la (2). Tutte queste cose si capiscono bene in probabilità.

P.S.: Spero vada tutto bene in Sicilia, in bocca al lupo. Io vivo in Inghilterra e qua il ballo inizia solo adesso, purtroppo.

[anto_zoolander]

Infatti non volevo ridurla ulteriormente, anzi, mi riferivo proprio al fatto che l'ipotesi fosse troppo potente.
Infatti nella dimostrazione alla fine quello che si fa è staccare sui singoletti

$(star)$ $mu(A_icapB_j)=mu(f^(leftarrow)({f_i})capg^(leftarrow)({g_j}))=mu_(f)(f_i)*mu_(g)(g_j)$

e dato che le funzioni integrabili possono essere tranquillamente approssimate da funzioni semplici, mi sembra che chiedere quella ipotesi sia un po "troppo" ai fini della dimostrazione.

in quanto se si suppone $star$ il teorema vale per le funzioni semplici e automaticamente per funzioni integrabili qualsiasi.

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

personalmente vivo malissimo la situazione, questa clausura mi sta pesando molto a livello psicologico.
Per quanto riguarda il "clima da virus" è tutto abbastanza nella norma, il problema sono gli effetti, a livello mediatico, che questa situazione ha sulle persone visto che la "tuttologia" qui a Palermo è parecchio diffusa...

Ho un amico che sta cercando di tornare dall'erasmus proprio in Inghilterra.
Mi ha detto che il governo gli sembra un pelo confuso, tu cosa ne pensi?

mi raccomando, prendi le dovute precauzioni e in bocca al lupo anche a te

[dissonance]

Secondo me \((\star)\) è la stessa cosa di sopra. I "singoletti" di cui parli fanno riferimento a \(\mu_f\) e \(\mu_g\), ma sono solo notazioni diverse. Voglio dire, scrivere
\[
\mu(A_i\cap B_j)=\mu_f(f_i)\mu_g(g_j)\]
è esattamente la stessa cosa che scrivere
\[
\mu(A_i\cap B_j)=\mu(A_i)\mu(B_j).\]
Hai solo cambiato un po' la notazione.

Quanto al virus, qui ancora non sono iniziate le misure drastiche, ma il governo sta facendo marcia indietro e presto le introdurrà. Chissà se gli inglesi saranno più disciplinati di italiani e spagnoli, nel rispettare la prescrizione di stare a casa. Non penso.