Non so se questo topic fosse più adatto ad analisi di base, comunque dovrei provare che lo spazio delle successioni reali quadrato sommabili è completo (di Hilbert).
Ho fatto così: sia ${x^{r}}_{r \in \mathbb{N}}={(x_{n}^{r})_{n}}_{r\in \mathbb{N}}$ di Cauchy, maggiorando opportunamente si trova che $(x_{n}^{r})$ è Cauchy per ogni n fissato perciò converge nei reali a un certo $x_{n}$, ovvero $\underset{r}{lim}x_{n}^{r}=x_{n}$definendo così una successione $x$, dico che questa è il limite cercato.
Da qui non saprei se è corretto.
Essendo Cauchy, fissiamo il nostro caro $\epsilon >0$, troviamo $\alpha$ tale che se $p,q>\alpha$ e $s \in \mathbb{N}$ si ottiene
$\sum_{n=1}^{s} |x_{n}^p-x_{n}^q|^2 \leq ||x^p-x^q||^2 \leq epsilon^2$. Facendo tendere p a infinito (si può fare perché la somma è finita (?)) trovo $\sum_{n=1}^{s} |x_{n}-x_{n}^q|^2 \leq \epsilon^2$ per $q > \alpha$.
1)x sta in $l^2$: dalla diseguaglianza triangolare in $\mathbb{R}^s$ si ha $(\sum_{n=1}^{s} |x_{n}|^2)^(1/2) \leq \epsilon + ||x^q||$, per arbitrarietà di s $||x||<\infty$.
2)Convergenza: sempre per arbitrarietà di s esce fuori $||x-x^q|| \leq \epsilon$ per $q>\alpha$.
Va bene? C'erano modi migliori?
Temo di essermi confuso con la bolgia di indici e non sono sicuro di quel passaggio al limite.