Principio di massimo di Aleksandrov per soluzioni semiconvesse

[LilCaccioppoli]

Stai sperimentando la tipica difficoltà di chi si approccia per la prima volta agli articoli di ricerca, c'è un muro di sbarramento e non si riesce a capire quali siano i dettagli tecnici secondari e quali siano le cose davvero degne di nota. Qui per esempio ti stai fissando su questa convergenza ma stai completamente ignorando una questione molto più importante. La tua funzione \(u\) non è in \(C^2\) né in \(W^{2,p}\). Ma allora cosa significa \(D_{ij}u\)?

Esatto dissonance, grazie per la comprensione e per l'aiuto. Allora, $D_{ij}$ credo che sia, a questo punto, nel senso delle distribuzioni. O, forse più semplicemente, sono gli elementi della matrice che compaiono nella definizione di due volte differenziabilità di $u$ che ho scritto precedentemente. Cioè $A \equiv D^2u$.
Si può dire qualcosa, sempre riguardo la convergenza, in questi casi?

[dissonance]

Esatto, quindi l'unica cosa che sai è che \(D_{ij}u\) esiste puntualmente e quasi ovunque, ma non hai nessuna proprietà di sommabilità su di essa. Quindi l'unica cosa sensata che puoi dire, e che è vera, è che
\[
D_{ij}u_\epsilon \to D_{ij}u\]
puntualmente quasi ovunque. Dovrebbe essere sufficiente ai tuoi scopi.

[LilCaccioppoli]

\[
D_{ij}u_\epsilon \to D_{ij}u\]
puntualmente quasi ovunque. Dovrebbe essere sufficiente ai tuoi scopi.

Purtroppo dissonance non credo che la convergenza puntuale possa risolvere qualcosa.
Ci ho pensato ma non vedo proprio dove posso applicarla al mio scopo. Peccato che non conosci l'argomento, altrimenti ti avrei detto dove avrei voluto applicarlo.
Comunque in realtà non mi è chiaro neanche perchè ho la convergenza puntuale.
Quale è stata la tua idea?

[dissonance]

Non lo so, prova a mandarmi l'articolo che stai leggendo, o almeno scrivi la referenza qui.

[LilCaccioppoli]

Non lo so, prova a mandarmi l'articolo che stai leggendo, o almeno scrivi la referenza qui.

Puoi trovare l'articolo su questo sito: https://www.ems-ph.org/journals/show_ab ... s=3&rank=3 .
Il titolo è Comparison Principle and Pointwise Estimates for Viscosity Solutions of Nonlinear Elliptic Equations di Trudinger.

Grazie per lo sforzo, anche se avrò l'esame venerdì e non credo che ce la si farà in tempo.

[gugo82]

Vabbè, ma pure tu… Leggere Trudinger è quasi come seguirne una lezione.

[dissonance]

Se l'esame è venerdì, lascia perdere questo dettaglio tecnico, prendilo per buono, sennò finisce che ti "amminchi" con quello e perdi di vista il filo generale del discorso (citazione da Montalbano).

Con gli articoli di ricerca è così, io tantissime volte ho finito per dedicare il 90% del tempo a qualche dettaglio secondario, e poi ho dovuto fare corse atroci per leggere tutto il corpo dell'articolo. Leggi in diagonale, cerca di capire per approssimazioni successive, invece che tutto di un colpo.

[LilCaccioppoli]

Vabbè, ma pure tu… Leggere Trudinger è quasi come seguirne una lezione.

Intendi che è difficile? Se intendi questo quasi che mi fa piacere, significa che non sono così tardo

[...] approssimazioni successive

bel riferimento dissonance, grazie per il consiglio, la prossima volta cercherò di fare così.

[gugo82]

Vabbè, ma pure tu… Leggere Trudinger è quasi come seguirne una lezione.

Intendi che è difficile? Se intendi questo quasi che mi fa piacere, significa che non sono così tardo

No, che è inutile.