Caratterizzazione dei misurabili per degli aperti.
Inviato: 26/03/2020, 16:50
Allora avrei un chiarimento
In corso abbiamo che dato \( E \supset \mathbb{R} \) allora le due proposizioni seguenti sono equivalenti
1)\( E \in \mathcal{M} \).
2)\( \forall \epsilon >0, \exists O \subset E \) aperto tale che \( \operatorname{mes}^*(O \setminus E) \leq \epsilon \).
NB: dove con \( \mathcal{M} \) indico l'insieme degli insiemi misurabili.
Nella dimostrazione che 1) implica 2)
Distingue due casi, nel primo
\( \operatorname{mes}(E) < \infty \)
E utilizza un teorema che abbiamo visto per la misura esterna (non per la misura) ovvero che per ogni \( \epsilon >0 \) esiste \( O \supset E \) aperto tale che
\[ \operatorname{mes}(E) \leq \operatorname{mes}(O) \leq \operatorname{mes}(E) +\epsilon \]
-Ora questo risultato lo abbiamo visto per la misura esterna, ma rimane valida anche per la misura? Cioé cosa mi assicura che \(O\) sia misurabile?
Al termine del primo caso conclude dunque che \( \operatorname{mes}(O \setminus E) \leq \epsilon \)
- Se \( E \in \mathcal{M} \) allora per ogni \( \epsilon >0\) esiste \( O \supset E \) aperto tale che \( O \setminus E \in \mathcal{M} \) e \( \operatorname{mes}(O \setminus E) \leq \epsilon \). Ma in generale se per ogni \( \epsilon >0 \) esiste un aperto \( O \supset E \) tale che \(\operatorname{mes}^*(O \setminus E) \leq \epsilon \) allora \( E \in \mathcal{M} \) ma non è necessariamente vero che \( O \setminus E \in \mathcal{M} \). Giusto?
In sostanza è vero pure che se \( E \in \mathcal{M} \) allora per ogni \( \epsilon > 0 \) esiste \( O \supset E \) tale che \( O \setminus E \not\in \mathcal{M} \) e \( \operatorname{mes}^*(O \setminus E) \leq \epsilon \)
Altrimenti non capisco il senso di scrivere nell'enunciato della proposizione 2) la misura esterna e non la misura.
In corso abbiamo che dato \( E \supset \mathbb{R} \) allora le due proposizioni seguenti sono equivalenti
1)\( E \in \mathcal{M} \).
2)\( \forall \epsilon >0, \exists O \subset E \) aperto tale che \( \operatorname{mes}^*(O \setminus E) \leq \epsilon \).
NB: dove con \( \mathcal{M} \) indico l'insieme degli insiemi misurabili.
Nella dimostrazione che 1) implica 2)
Distingue due casi, nel primo
\( \operatorname{mes}(E) < \infty \)
E utilizza un teorema che abbiamo visto per la misura esterna (non per la misura) ovvero che per ogni \( \epsilon >0 \) esiste \( O \supset E \) aperto tale che
\[ \operatorname{mes}(E) \leq \operatorname{mes}(O) \leq \operatorname{mes}(E) +\epsilon \]
-Ora questo risultato lo abbiamo visto per la misura esterna, ma rimane valida anche per la misura? Cioé cosa mi assicura che \(O\) sia misurabile?
Al termine del primo caso conclude dunque che \( \operatorname{mes}(O \setminus E) \leq \epsilon \)
- Se \( E \in \mathcal{M} \) allora per ogni \( \epsilon >0\) esiste \( O \supset E \) aperto tale che \( O \setminus E \in \mathcal{M} \) e \( \operatorname{mes}(O \setminus E) \leq \epsilon \). Ma in generale se per ogni \( \epsilon >0 \) esiste un aperto \( O \supset E \) tale che \(\operatorname{mes}^*(O \setminus E) \leq \epsilon \) allora \( E \in \mathcal{M} \) ma non è necessariamente vero che \( O \setminus E \in \mathcal{M} \). Giusto?
In sostanza è vero pure che se \( E \in \mathcal{M} \) allora per ogni \( \epsilon > 0 \) esiste \( O \supset E \) tale che \( O \setminus E \not\in \mathcal{M} \) e \( \operatorname{mes}^*(O \setminus E) \leq \epsilon \)
Altrimenti non capisco il senso di scrivere nell'enunciato della proposizione 2) la misura esterna e non la misura.