Teorema convergenza dominata e approssimazione liscia
Inviato: 04/04/2020, 13:53
Sia \( f \in L^p(\mathbb{R} \) e \( 1 \leq p < \infty \) dimostra che
\[ \lim_{\epsilon \to 0 } \int_{\mathbb{R}} \left| f(x+\epsilon) - f(x) \right|^p dx = 0 \]
La mia idea è questa.
Per il teorema dell'approssimazione per funzioni lisce abbiamo che per ogni \( \epsilon >0 \) esiste \( g_{\epsilon} \in C_c^{\infty}(\mathbb{R}) \) tale che
\[ \begin{Vmatrix} f- g_{\epsilon} \end{Vmatrix}_{L^p} \leq \epsilon \]
Quindi
\[ \begin{Vmatrix} f- g_{\epsilon} \end{Vmatrix}_{L^p}^p = \int_{\mathbb{R}} \left| f(x) - g_{\epsilon}(x) \right|^pdx \leq \epsilon \]
Inoltre vale anche
\[ \begin{Vmatrix} f- g_{\epsilon} \end{Vmatrix}_{L^p}^p = \int_{\mathbb{R}} \left| f(x+\epsilon) - g_{\epsilon}(x+\epsilon) \right|^pdx \leq \epsilon \]
Siccome effettuare un cambiamento di variabiale \( x = x + \epsilon \) non cambia l'integrale.
Dunque ora dobbiamo dimostrare che
\[ \int_{\mathbb{R}} \left| g_{\epsilon}(x+\epsilon) - g_{\epsilon}(x) \right|^p dx \leq \epsilon \]
Sia \( \operatorname{supp}(g_{\epsilon}) \subset [a,b] \) e \( 0 < \epsilon < 1 \)
\[ \int_{\mathbb{R}} \left| g_{\epsilon}(x+\epsilon) - g_{\epsilon}(x) \right|^p= \int_{a- 2 \epsilon }^{b+2 \epsilon} \left| g_{\epsilon}(x+\epsilon) - g_{\epsilon}(x) \right|^p \]
Ora mi piacerebbe utilizzare il teorema della convergenza dominata. Ma le ipotesi da verificare sono le seguenti:
Innanzitutto poniamo
\[ g^{\epsilon}(x):= \left| g_{\epsilon}(x+\epsilon) - g_{\epsilon}(x) \right| \]
In primo luogo devo avere che \( g^{\epsilon} \in L^1 (a,b) \), la cosa non è un problema poiché le funzioni continue sono
\( L ^1 \) e \( g_{\epsilon} \) è continua, inoltre credo che se \( g_{\epsilon} \) è \( L^1 \) allora \( \left| g_{\epsilon} \right| \) è \( L^1 \). Pertanto siccome \( L^1 \) è uno spazio vettoriale ed è stabile rispetto alla somma abbiamo che \( g^{\epsilon} \in L^1 \).
In più \( \forall x \in \mathbb{R} \)
\[ \lim_{\epsilon \to 0 } g^{\epsilon}(x) = 0 \]
dunque \( g^{\epsilon} \) converge puntualmente a \( 0 \).
Ora dovrei verificare che \( \left| g^{\epsilon} \right| \leq 0 \) cosa falsa...
Come faccio a dimostrare che
\[ \int_{\mathbb{R}} \left| g_{\epsilon}(x+\epsilon) - g_{\epsilon}(x) \right|^p dx \leq \epsilon \] ??
Oppure ho mal interpretato l'ipotesi che la successione dev'essere dominata nel teorema della convergenza dominata? Cioé posso dominarla anche per qualcosa d'altro ?
\[ \lim_{\epsilon \to 0 } \int_{\mathbb{R}} \left| f(x+\epsilon) - f(x) \right|^p dx = 0 \]
La mia idea è questa.
Per il teorema dell'approssimazione per funzioni lisce abbiamo che per ogni \( \epsilon >0 \) esiste \( g_{\epsilon} \in C_c^{\infty}(\mathbb{R}) \) tale che
\[ \begin{Vmatrix} f- g_{\epsilon} \end{Vmatrix}_{L^p} \leq \epsilon \]
Quindi
\[ \begin{Vmatrix} f- g_{\epsilon} \end{Vmatrix}_{L^p}^p = \int_{\mathbb{R}} \left| f(x) - g_{\epsilon}(x) \right|^pdx \leq \epsilon \]
Inoltre vale anche
\[ \begin{Vmatrix} f- g_{\epsilon} \end{Vmatrix}_{L^p}^p = \int_{\mathbb{R}} \left| f(x+\epsilon) - g_{\epsilon}(x+\epsilon) \right|^pdx \leq \epsilon \]
Siccome effettuare un cambiamento di variabiale \( x = x + \epsilon \) non cambia l'integrale.
Dunque ora dobbiamo dimostrare che
\[ \int_{\mathbb{R}} \left| g_{\epsilon}(x+\epsilon) - g_{\epsilon}(x) \right|^p dx \leq \epsilon \]
Sia \( \operatorname{supp}(g_{\epsilon}) \subset [a,b] \) e \( 0 < \epsilon < 1 \)
\[ \int_{\mathbb{R}} \left| g_{\epsilon}(x+\epsilon) - g_{\epsilon}(x) \right|^p= \int_{a- 2 \epsilon }^{b+2 \epsilon} \left| g_{\epsilon}(x+\epsilon) - g_{\epsilon}(x) \right|^p \]
Ora mi piacerebbe utilizzare il teorema della convergenza dominata. Ma le ipotesi da verificare sono le seguenti:
Innanzitutto poniamo
\[ g^{\epsilon}(x):= \left| g_{\epsilon}(x+\epsilon) - g_{\epsilon}(x) \right| \]
In primo luogo devo avere che \( g^{\epsilon} \in L^1 (a,b) \), la cosa non è un problema poiché le funzioni continue sono
\( L ^1 \) e \( g_{\epsilon} \) è continua, inoltre credo che se \( g_{\epsilon} \) è \( L^1 \) allora \( \left| g_{\epsilon} \right| \) è \( L^1 \). Pertanto siccome \( L^1 \) è uno spazio vettoriale ed è stabile rispetto alla somma abbiamo che \( g^{\epsilon} \in L^1 \).
In più \( \forall x \in \mathbb{R} \)
\[ \lim_{\epsilon \to 0 } g^{\epsilon}(x) = 0 \]
dunque \( g^{\epsilon} \) converge puntualmente a \( 0 \).
Ora dovrei verificare che \( \left| g^{\epsilon} \right| \leq 0 \) cosa falsa...
Come faccio a dimostrare che
\[ \int_{\mathbb{R}} \left| g_{\epsilon}(x+\epsilon) - g_{\epsilon}(x) \right|^p dx \leq \epsilon \] ??
Oppure ho mal interpretato l'ipotesi che la successione dev'essere dominata nel teorema della convergenza dominata? Cioé posso dominarla anche per qualcosa d'altro ?