16/05/2020, 17:43
17/05/2020, 00:47
17/05/2020, 18:32
pilloeffe ha scritto:Ciao Lebesgue,
Potrebbe farti comodo osservare che si ha:
$\text{cotanh}(w) = 1/w + 2w \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/(w^2 + (n\pi)^2) $
Posto $w := \pi z $ si ha:
$\text{cotanh}(\pi z) = 1/(\pi z) + 2\pi z \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/((\pi z)^2 + (n\pi)^2) = 1/(\pi z) + (2z)/pi \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/(z^2 + n^2) \implies $
$ \implies (\pi z) \text{cotanh}(\pi z) = 1 + 2z^2 \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/(z^2 + n^2) \implies (\pi z) \text{cotanh}(\pi z) - 1 = 2z^2 \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/(z^2 + n^2) $
Perciò in definitiva si ha:
$ \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/(z^2 + n^2) = (\pi \text{cotanh}(\pi z))/(2z) - 1/(2z^2) $
Naturalmente a determinate condizioni, fra le quali ovviamente $z \ne 0 $ (ma per $z = 0 $ la serie proposta notoriamente converge a $\pi^2/6$)
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