Calcolo dei residui di una funzione complessa (con tangente)

[Ema6798]

Salve, un'esercizio mi chiede di classificare le singolarità e calcolare i residui della seguente funzione:

f(z)=$tan(z)/(z^2+1)$

dunque banalmente $z_0=+i$ e $z_1=-i$ sono poli semplici, calcolo il residuo del polo $z_0$:

$lim_(z -> i) (z-i)tan(z)/(z^2+1)$,

tale limite da come risultato $0/0$ forma indeterminata, procedo quindi ad applicare il teorema di de l' Hopital ed ottengo:

$lim_(z -> i) ((tan(z)+(z-i)*(1/cos^2(z)))/(2z))$ = $tan(i)/(2i)$ (a meno di errori di calcolo)

per brevità ometto anche il calcolo del residuo per il polo $z_1$, a questo punto però l'esercizio non è completo, manca infatti ancora un terzo polo di cui calcolare il residuo, qui entro in confusione, e chiedo qualche piccolo suggerimento per comprendere meglio.

Quello che ho pensato io è che un polo per dirsi tale deve essere:

$lim_(z -> z_0) |f(z)| = oo $

per quanto detto sopra mi verrebbe da dire che tutti i $kpi/2$ sono poli della funzione, infatti soddisfano il limite sopra, ma a questo punto non sono sicuro di come procedere, e se sono nella giusta strada, grazie in anticipo!

[gugo82]

Ma che de l'Hopital!
Dai, non scherziamo... Quella roba lì è un limite che si calcola con tecniche da liceo: basta scomporre il denominatore e semplificare.
Difatti:
\[
\operatorname{Res}(z;\pm i) = \lim_{z\to \pm i} (z\mp i)\cdot \frac{\tan z}{z^2 + 1} = \lim_{z\to \pm i} (z\mp i)\cdot \frac{\tan z}{(z - i)\cdot (z + i)} = \lim_{z\to \pm i} \frac{\tan z}{z\pm i} = \frac{\tan(\pm i)}{\pm 2i} = \frac{\tan i}{2i}\; .
\]

Per quanto riguarda il resto, sono punti di singolarità tutti i punti del tipo $z_k = kpi/2$ (con $k in ZZ$) ed il punto all'infinito $oo$.
I punti $z_k$ che tipo di singolarità sono? Perché?
Il punto $oo$?

Suggerimento: vedi qui.

[Ema6798]

Caspita, hai proprio ragione!
Comunque evidentemente sono sulla giusta strada, a breve completerò l'esercizio.

[Ema6798]

Essendo $z_k$ polo semplice ho applicato una formula per il calcolo veloce del residuo che deriva dal teorema di de l'Hopital cioè:

$Res(f(z); z_k) = ([(P(z))/(Q'(z))]_(z=z_k))$;

Riscrivendo $tan(z)=sin(z)/(cos(z))$ e svolgendo i calcoli ho ottenuto che il residuo di $z_k$ vale $-1/(((pi^2)/4)+k^2pi^2+1)$