f(z)=$tan(z)/(z^2+1)$
dunque banalmente $z_0=+i$ e $z_1=-i$ sono poli semplici, calcolo il residuo del polo $z_0$:
$lim_(z -> i) (z-i)tan(z)/(z^2+1)$,
tale limite da come risultato $0/0$ forma indeterminata, procedo quindi ad applicare il teorema di de l' Hopital ed ottengo:
$lim_(z -> i) ((tan(z)+(z-i)*(1/cos^2(z)))/(2z))$ = $tan(i)/(2i)$ (a meno di errori di calcolo)
per brevità ometto anche il calcolo del residuo per il polo $z_1$, a questo punto però l'esercizio non è completo, manca infatti ancora un terzo polo di cui calcolare il residuo, qui entro in confusione, e chiedo qualche piccolo suggerimento per comprendere meglio.
Quello che ho pensato io è che un polo per dirsi tale deve essere:
$lim_(z -> z_0) |f(z)| = oo $
per quanto detto sopra mi verrebbe da dire che tutti i $kpi/2$ sono poli della funzione, infatti soddisfano il limite sopra, ma a questo punto non sono sicuro di come procedere, e se sono nella giusta strada, grazie in anticipo!