Funzione costante.

[3m0o]

Sia \( f(z) \) una funzione intera tale che non è mai zero e tale che \( f^{-1}(1) \) è finito. Dimostra che \( f \) è costante.

Testo originale:
Let \(f(z) \) be an entire function such that \(f(z) \) is never zero and \( f^{-1}(1) \) is finite. Prove that \(f \) is constant.

Avrei un piccolo dubbio, quando dice \( f^{-1}(1) \) è finito, intende la preimmagine ? Cioè l'insieme dei complessi tale che \( f(z) = 1 \) è un insieme di cardinalità finita? Altrimenti non capisco il senso di dire che \( f^{-1}(1) \) è finito.

Interpretandola come pre-immagine ho tentato così
Supponiamo per assurdo che \(f \) non sia costante, abbiamo che \(f \neq 0 \) allora \(f \) non è un polinomio, pertanto abbiamo per il piccolo teorema di Picard che \(f\) prende tutti i valori complessi almeno una volta eccetto \(0 \), consideriamo \( z \mapsto f( \frac{1}{z} ) \), abbiamo che siccome \(f(z) \) è intera e non è un polinomio allora \(f( \frac{1}{z} ) \) possiede una singolarità essenziale in \(0 \), ed è olomorfa in \( \mathbb{C}^* \). Inoltre sempre per il teorema di Picard abbiamo che in un intorno di zero \(f \) prende tutti i valori complessi un infinità di volte, tranne al più uno. Contraddizione, poiché \(0 \) non è mai preso ed inoltre esiste \(k \in \mathbb{N} \) tale che \( z_1,z_2,\ldots ,z_k \) sono gli unici numeri complessi tale che \( f(z_i)=1 \) per ogni \( 1 \leq i \leq k \), dunque \( f( \frac{1}{z} ) \) prende un infinità di volte tutti i valori complessi tranne \(0 \) e \(1\), assurdo! Pertanto \(f \) è costante.