Proprietà polinomi di Hermite

[Gabriele Pagnanelli]

Salve, vi chiedo aiuto nel dimostrare questa proprietà dei polinomi di Hermite:
\(\displaystyle H_n(x+y)= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} H_{(n-k)}(y) x^k\)

Inoltre ho trovato una relazione simile dove compare un fattore 2 davanti la x

\(\displaystyle H_n(x+y)= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} H_{(n-k)}(y) (2x)^k\)

e non so bene a quale affidarmi.
Grazie in anticipo.

[Masaki]

Credo sia la seconda: per verificarlo ti basta utilizzare la seguente espressione integrale dei polinomi di Hermite:

\begin{equation}
H_n(y) = \frac{e^{y^2}}{\sqrt{\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} (-2iu)^n e^{-u^2+2iu y} du
\end{equation}

Qua sotto ti posto la soluzione, in caso ti servisse per controllare:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

\begin{equation*}
\begin{aligned}
\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} H_{n-k}(y)(2x)^k &= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (2x)^k \frac{e^{y^2}}{\sqrt{\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} (-2iu)^{n-k} e^{-u^2+2iu y} du\\
&= \frac{e^{y^2}}{\sqrt{\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (2x)^k (-2iu)^{n-k} e^{-u^2+2iu y} du\\
&= \frac{e^{y^2}}{\sqrt{\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} (2x -2iu)^n e^{-u^2+2iu y} du\\
&= \frac{e^{y^2}}{\sqrt{\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} (-2iu)^n \exp\bigg[-\bigg(u + \frac{2x}{2i}\bigg)^2+2i\bigg(u + \frac{2x}{2i}\bigg) y\bigg] du\\
&= \frac{1}{\sqrt{\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} (-2iu)^n \exp\bigg[-\bigg(u -ix-iy\bigg)^2\bigg] du\\
&= \frac{e^{(x+y)^2}}{\sqrt{\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} (-2iu)^n e^{-u^2 -2i(x+y)} du\\
&= H_n(x+y)
\end{aligned}
\end{equation*}

[Gabriele Pagnanelli]

Grazie infinite, mi ha salvato

[pilloeffe]

Ciao Gabriele Pagnanelli,

Benvenuto sul forum!
Confermo che anche a me risulta la seconda, sussistendo la simpatica relazione seguente:

$H_n(x + y) = (H + 2x)^n = \sum_{k=0}^n ((n),(k)) H_{n-k}(y) (2x)^k $

ove $H^k = H_k(y) $

[Masaki]

Comunque mi è venuto in mente che matematici e fisici usano definizioni leggermente diverse di polinomi di Hermite, quindi probabilmente la prima proprietà vale con la definizione usata dai matematici