1
Se $x(t)$ è sommabile allora esiste la sua trasformata di Fourier.
Ma se non lo è? Esiste sempre nel senso delle distribuzioni?
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Suppongo di si dal momento che $<F[x(t)], \varphi(t)> = <x(t), F[\varphi(t)]>$
ed essendo le funzioni test per definizione delle funzioni a supporto compatto, sono sommabili e dunque sempre trasformabili... dunque esiste sempre la trasformata di Fourier nel senso delle distribuzioni in caso di $x(t)$ non sommabile.
ed essendo le funzioni test per definizione delle funzioni a supporto compatto, sono sommabili e dunque sempre trasformabili... dunque esiste sempre la trasformata di Fourier nel senso delle distribuzioni in caso di $x(t)$ non sommabile.
2
In alcuni testi vedo che l'antitrasformata di Fourier viene definita senza il fattore $\frac{1}{2\pi}$
Qual è la differenza? Perchè in alcuni testi c'è e in altri no?
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3
Perchè la trasformata di Fourier viene introdotta solo quando si inizia a parlare di distribuzioni temperate?
Quando ci sono state spiegate le distribuzioni, della trasformata di Fourier nemmeno l'ombra... solo dopo aver definito l'insieme delle distribuzioni temperate allora il docente ha definito la trasformata di Fourier di distribuzioni temperate.
Nel dubbio 1 ho riportato la relazione
$<F[x(t)], \varphi(t)> = <x(t), F[\varphi(t)]>$
dove non ho specificato se si trattasse o meno di una distribuzione temperata... eppure il semplice fatto che $\varphi$ sia a supporto compatto non dovrebbe automaticamente renderla trasformabile secondo Fourier?
Perchè non si parla di trasformata di Fourier di distribuzioni non temperate?
Grazie in anticipo!