Serie di Fourier

[antor]

Ciao a tutti, ho alcuni dubbi sulle serie di Fourier. Il primo dubbio è il seguente, come faccio a calcolare il semiperiodo L se mi viene fornito un intervallo? Inoltre sto studiando alcuni esercizi svolti ma non riesco a capire alcune cose. Il primo esercizio dice "Sviluppare in serie di soli coseni la funzione che in [0,2] è pari a $ f(x)=1+x $" Dunque devo calcolare a0 e an, e li calcola con la formula $ (2/L)int_(0)^(L) f(x)... dx $ Un secondo esercizio mi chiede di sviluppare in soli seni la $ f(x)=1 se 0<x<=1 e 2-x se 1<x<=2 $ e nel calcolare bn scrive $ int_(0)^(1) f(x)... dx + ... $ Ora il mio dubbio è questo, perché non utilizza in questo secondo caso la formula precedente, ovvero $ (2/L)int_(0)^(L) f(x)... dx $ Spero qualcuno mi aiuti, sono davvero disperato

[Exodus]

Probabilmente la funzione è questa:




Io il periodo lo indico con $T$ non con la $L$

$T=2$

Per la componente continua hai:

\(\alpha _{0}=\frac{2}{T}\int_{0}^{\frac{T}{2}}x\left ( t \right )dt=\int_{0}^{1}\left ( 1+t \right )dt=\frac{3}{2}\)

Adesso continua tu

[antor]

Probabilmente la funzione è questa:




Io il periodo lo indico con $T$ non con la $L$

$T=2$

Per la componente continua hai:

\(\alpha _{0}=\frac{2}{T}\int_{0}^{\frac{T}{2}}x\left ( t \right )dt=\int_{0}^{1}\left ( 1+t \right )dt=\frac{3}{2}\)

Adesso continua tu

Grazie per la risposta. Lo svolgimento mi dice $ a0=(2/L)int_(0)^(L) f(x)dx = int_(0)^(2) (1+x) dx = 4 $
Il mio problema però è sempre uno, come determinare il periodo T. Ad esempio qui nell’intervallo [0,2] si ha T=2 mentre in un altro esercizio in cui mi chiede il prolungamento dispari in un intervallo $ 5<x<15 $ mi dice che T=5. Come si fa quindi a determinare il valore del periodo T? Dopo averlo determinato so come procedere ma questa cosa mi blocca

[Exodus]

Mi hai mandato fuori strada dicendo di trovare solo $a_0$ e $a_n$ , quindi ho applicato senza pensare la formula per i segnali pari, ma quello non è un segnale pari
Prima di rispondere alla tua domanda, visto che ho perso tempo nella soluzione, ti posto il risultato corretto

\(\alpha _{0}=\frac{1}{2}\int_{0}^{2}\left ( 1+t \right )dt=2\)
\(a_{k}=\int_{0}^{2}\left ( 1+t \right )\cos \left ( k\pi t \right )dt=0\)
\(\beta_{k}=\int_{0}^{2}\left ( 1+t \right )\sin \left ( k\pi t \right )dt=-\frac{2}{\pi k}\)

Serie di Fourier:

\(x\left ( t \right )=2-\sum_{k=1}^{\infty }\frac{2}{\pi k}\sin \left ( k\pi t \right )\)


Facciamo un Plot delle prime 30 armoniche:

Come si fa quindi a determinare il valore del periodo T?

Quando hai a che fare con dei segnali periodici, semplicemente calcoli la durata di un periodo.
Comunque la maniera di procedere è quella di farsi un abbozzo di grafico della funzione, se poi ti viene dato il periodo passi ai calcoli direttamente.

[Exodus]

Anche se ripensadoci potrebbe essere un segnale triangolare di periodo $T=4$ che ha solamente i coefficienti $a_0$ e $a_n$ ovvero:




Intanto vediamo la soluzione di quest'ultimo:

\(\alpha _{0}=\frac{1}{2}\int_{0}^{2}\left ( 1+t \right )dt=2\)
\(\alpha _{k}=\int_{0}^{2}\left ( 1+t \right )\cos \left ( k\frac{\pi }{2} t\right )dt=\frac{4}{\pi ^{2}k^{2}}\left ( \left ( -1 \right )^{k}-1 \right )\)

Quindi la serie di Fourier:

\(x\left ( t \right )=2+\frac{4}{\pi ^{2}}\sum_{k=1}^{\infty }\frac{\left ( -1 \right )^{k}-1}{k^{2}}\cos \left ( k\frac{\pi }{2}t \right )\)

Plot delle prime 30 armoniche:




Se hai la soluzione della serie postala che cosi risaliamo al segnale.

[antor]

Anche se ripensadoci potrebbe essere un segnale triangolare di periodo $T=4$ che ha solamente i coefficienti $a_0$ e $a_n$ ovvero:




Se hai la soluzione della serie postala che cosi risaliamo al segnale.

Non ho la soluzione completa, mi dice solo che T=2, a0=4 e an= $ (4cos(npi)-1)/(pi^2 n^2) $
Nel caso di un’altra funzione 10-x con 5<x<15, mi potresti mostrare come si rappresenta il grafico delle armoniche per definire il periodo T? Ti ringrazio per il tuo aiuto

[Exodus]

Il coefficiente $a_0$ per caso lo divide per $2$ nella serie?

Nel caso di un’altra funzione 10-x con 5<x<15, mi potresti mostrare come si rappresenta il grafico delle armoniche per definire il periodo T? Ti ringrazio per il tuo aiuto

Dovrebbe essere $T=15-5=10$ ,se la funzione è descitta per un solo periodo.
Bisogna vedere la logica che usa il libro per descrivere la funzioni, se tu scrivi solo dei frammenti del libro è arduo capire cosa intende

[antor]

Purtroppo essendo delle prove d'esame ho solo i risultati ma non lo svolgimento completo. Allora mi dice che a0=4, poi chiaramente quando scrive la serie finale scrive a0/2 e quindi 2

[Exodus]

Non ho la soluzione completa, mi dice solo che T=2, a0=4 e an= $ (4cos(npi)-1)/(pi^2 n^2) $

Con i dati che hai messo i coefficienti $a_n = 0$
Stai facendo un gran casino fratello

Dunque devo calcolare a0 e an, e li calcola con la formula $(2/L)int_(0)^(L) f(x)... dx$

\(a_{n}=\int_{0}^{2}\left ( 1+t \right )\cos \left ( k\pi t \right )dt=0\)

C'è qualcosa che non torna

[Exodus]

Se provo a prolungare in maniera dispari quella funzione
viene cosi:




Quindi $T=10$.
Ricordati che nel calcolo dei coefficienti c'è un fattore di scala:
$2/T=2/10=1/5$