Trovare la serie di Taylor

[Daniel_HD]

Ciao!
Sto avendo difficoltà nel risolvere due esercizi, non capisco se ho qualche lacuna o semplicemente sono difficili
Devo trovare la serie di Taylor di:

1) $ f(z)=ze^{2z} " in "z_o=-1 $
2) $ f(z)=(z^2+1)cos(3z^3) " in " z_0=0 $

Soluzione:
1) $ f(z)=-e^(-2) + (e^(-2))/2 sum_{n=1}^{+\infty} (n-2)/(n!)2^n (z+1)^n $
2) $ f(z)= 1+ z^2 - 9/2 z^6-9/2z^8+81/(4!)z^12+81/(4!)z^14-... $

Per l'esercizio 1) non ho idea nemmeno di come iniziare.
Per l'esercizio 2): Io avevo inserito $(1+z^2)$ dentro la sommatoria del cos ma guardando le soluzioni noto che prima sviluppano la serie del cos in $z_0=0$ e successivamente moltiplicano per $(1+z^2)$. Come mai?

P.S. Perché nelle soluzioni del 1) lascia la sommatoria mentre nel 2) la sviluppa? Cambia qualcosa?

Grazie in anticipo!!

[gugo82]

Questi sono esercizi da Analisi I/II, dovresti avere almeno l’idea di base.

Per quanto riguarda 1), puoi riscrivere:

$f(z) = (z - z_0 + z_0)*e^(2(z-z_0) + 2z_0) = (z+1 -1)*e^(2(z+1) -2)$

ed operare la sostituzione $w=z+1$ in modo da ottenere:

$g(w) = e^(-2) * (w-1) * e^(2w)$

da sviluppare in serie intorno a $w_0=0$.

Il metodo da usare per sviluppare la $g$ e la $f$ dell’esercizio 2) è essenzialmente la stessa e la trovi su qualsiasi eserciziari decente di Analisi I/II.