Singolarità eliminabile (Serie di Laurent)

[Flamber]

Ho un dubbio riguardo questa funzione, ma non sul risultato che è abbastanza banale, quanto più su un passaggio specifico. Scusate la prolissità e qualche passaggio in più, ma voglio essere sicuro di spiegarmi bene. Devo valutare il tipo di singolarità in $z=0$ della funzione:

$f(z) = z/(e^z-1)$

Posso utilizzare lo sviluppo $e^z = sum_[n=0]^(+oo) (z^n)/(n!)=1+z+z^2/2+z^3/6+...$ e quindi ottengo:

$f(z) = z* 1/([1+z+z^2/2+o(|z|^2)]-1) = 1/(1+z/2+o(|z|)) = 1/(1-[-z/2+o(|z|)]) $

Quindi se chiamo (*)$w = [-z/2+o(|z|)] $, e sapendo che $sum_[n=0]^(+oo)w^n = 1/(1-w)$ per $|w|<1$ posso scrivere:

(*)$f(z) = 1 + (-z/2+o(|z|)) + (-z/2+o(|z|))^2 + ... = 1 -z/2 + o(|z|)$

Quindi $Res_f(0) = 0$, e allora abbiamo una singolarità eliminabile.


Il mio dubbio stà nei due passaggi che ho segnato con *. Questa sostituzione posso applicarla solo perchè $wrarr0$ per $zrarr0$ o potrei farlo anche se $w$ tendesse ad un valore complesso qualsiasi (o anche $oo$).

P.S. posso dire che l'insieme di convergenza è $|z|<2$ ?

[gugo82]

Uà, e se fai tutto 'sto casino per una singolarità eliminabile, quando devi fare i conti seri che succede?

Studiati il thread su "Zeri e Singolarità" che ho scritto. Lo trovi in cima alla pagina.

[Flamber]

Ciao gugo, come ho scritto nelle prime due righe sono stato volutamente prolisso e la mia domanda non era riferita al risultato o al modo in cui arrivarci. Ho segnato con (*) il passaggio sul quale ho un dubbio. Ho avuto modo di guardare il tuo post in passato, ma non mi pare ci sia riferimento a questo caso specifico, se mi sbaglio però potresti indicarmi in che paragrafo lo trovo?

Ripeto, non ho problemi a calcolare lo sviluppo o a determinare il tipo di singolarità, mi chiedo solo se il passaggio di sostituzione indicato sarebbe lecito anche nel caso in cui $w$ avesse limite diverso da $0$

[gugo82]

Certo che no, non avrebbe senso.

Poi, visto che $z$ ed $e^z -1$ hanno entrambe in $0$ uno zero d'ordine $1$, il loro rapporto ha in $0$ una singolarità eliminabile.
Senza troppi patemi, semplice così.

[Flamber]

Certo che no, non avrebbe senso.

Ok allora c'è qualcosa che non ho capito. Consideriamo la funzione $f(z) = e^(1/z)$. Anche in questo potremmo subito dire che in 0 c'è una singolarità essenziale, ma permettimi di essere prolisso ( un pò meno del primo post )

Chiamiamo $w=1/z$, allora la funzione diventa $e^w$ e lo sviluppo in serie è:

$1+w+1/2 w^2 +1/6 w^3 + ... $

Sostituendo

$1+1/z+1/2 1/z^2 +1/6 1/z^3 + ... $

Lo sviluppo di Laurent è corretto (almeno penso), però in questo caso abbiamo che $wrarroo$ per $zrarr0$, quindi la sostituzione non dovrebbe essere lecita. Non capisco dove è l'errore.

Dovrei dimostrarlo calcolando direttamente i coefficienti della serie, applicando da definizione l'integrale?

[gugo82]

Non c'è errore.
Lo sviluppo di Taylor intorno a $0$ di $e^w$ coincide con lo sviluppo in serie di Laurent intorno a $oo$.

[Flamber]

Ok, ho riguardato anche il tuo post relativo alle funzioni olomorfe e penso di aver capito.

Potremmo quindi dire che nel secondo esempio è possibile fare questo perchè il raggio di convergenza dello sviluppo di $e^z$ è $+oo$ , mentre nel primo non possiamo farlo perchè il raggio di convergenza è $1$?

È giusto vederla così o non c'entra niente?

[gugo82]

No, non c'entra nulla il raggio di convergenza.