Vorrei un chiarimento, non so se faccio confusione tra spazi misura e topologici
sia $(Omega,F,P)$ uno spazio di probabilità, $X_n:Omega->RR$ una successione di funzioni misurabili e $X:Omega->RR$ una funzione misurabile
se $foralldelta>0, sum_(n=1)^(+infty)P({omega in Omega: abs(X_n(omega)-X(omega))>delta})<infty$ allora $P({omega in Omega: lim_(n->+infty)X_n(omega)=X(omega)})=1$
o più compatto $forall delta>0, sum_(n=1)^(+infty)P(abs(X_n-X)>delta)<infty => P(lim_(n->+infty)X_n=X)=1$
dimostrazione
per il primo lemma di Borel-Cantelli per ogni $delta>0$ deve aversi $P(lim s u p abs(X_n-X)>delta)=0$
ora quel limsup è $bigcap_(m in NN)bigcup_(ngeqm){abs(X_n-X)>delta}$ e il complementare sarà
$bigcup_(m in NN)bigcap_(ngeqm){abs(X_n-X)leqdelta}$ con $P(bigcup_(m in NN)bigcap_(ngeqm){abs(X_n-X)leqdelta})=1$
questo insieme è esattamente $E_delta:={omega in Omega: exists m in NN: foralln>m, abs(X_n(omega)-X(omega))leqdelta}$
essendo vero per ogni $delta>0$ sarà vero anche per $delta=1/k$.
quindi $lim_(k->+infty)P(E_k)=1$ con la famiglia ${E_k}$ decrescente
quindi si ha
$P(bigcap_(k in NN)E_k)=lim_(k->+infty)P(E_k)=1 => P({omega in Omega: forall k in NN exists m in NN: foralln>m, abs(X_n(omega)-X(omega))leq1/k})$$=1$
il dubbio sta nella conclusione che segue
ora concludo che quell'insieme non dipende da $k$ in quanto gli intorni $B(X(omega),1/k)$ formano una base locale, quindi $P(lim_(n->+infty)X_n(omega)=X(omega))=1$
come vi sembra?
