Relazione tra trasformata e antitrasformata di Fourier

[Mephlip]

Ciao a tutti! Ho cercato sul forum ma non ho trovato (apparentemente) una domanda simile. Ho un dubbio sulla relazione tra la trasformata e l'antitrasformata di Fourier.
La convenzione da me usata è
$$\mathcal{F}[f(x)](k)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-ikx} \text{d}x$$
$$\mathcal{F}^{-1}[f(k)](x)=\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} f(k) e^{ikx} \text{d}k$$
Consideriamo un esempio: un modo per calcolare la trasformata di Fourier di $f(x)=\frac{1}{1+x^2}$ è quello di ricordare che la trasformata di Fourier di $e^{-|x|}$ è
$$\mathcal{F}\left[e^{-|x|}\right](k)=\frac{2}{1+k^2}$$
Dunque antitrasformando ambo i membri si ha
$$e^{-|x|}=\mathcal{F}^{-1}\left[\frac{2}{1+k^2}\right](x)=\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{2}{1+k^2} e^{ikx} \text{d}k \Leftrightarrow \pi e^{-|x|}=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+k^2} e^{ikx} \text{d}k$$
L'ultima uguaglianza è un'uguaglianza tra funzioni e dunque ha perfettamente senso valutare tali funzioni in $-x$ anziché in $x$, giungendo a
$$\pi e^{-|-x|}=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+k^2} e^{-ikx} \text{d}k \Leftrightarrow \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+k^2} e^{-ikx} \text{d}k=\pi e^{-|x|}$$
Ci è stato infine detto che, scambiando formalmente $x$ con $k$, si ottiene al membro di destra dell'ultima uguaglianza la trasformata di Fourier di $\frac{1}{1+x^2}$; quindi
$$\mathcal{F}\left[\frac{1}{1+x^2}\right](k)=\pi e^{-|k|}$$
Ma come mai ciò funziona? Perché posso scambiare formalmente due simboli? La trasformata è una funzione di $k$, mentre l'antitrasformata è una funzione di $x$; come mai questo scambio formale ha senso? È come se valesse una sorta di relazione del tipo
$$2\pi \mathcal{F}[f(x)](k)=\mathcal{F}^{-1}[f(-x)](k)$$
Ma non riesco a coglierla a pieno, specialmente perché, come ho già accennato prima, trasformata ed antitrasformata sono funzioni di due variabili diverse. Grazie!

[gugo82]

Come si trova che l'inversa di $e^x$ è $log x$ risolvendo l'equazione $y=e^x$?

[Mephlip]

...scambiando le variabili e risolvendo (quasi da spostare in secondaria questa ) grazie gugo!