Salve a tutti ho un esercizio in cui mi sono bloccato ho usato 3 strade una formale una più legata ai calcoli e una più o meno ragionando sulla tipologia di funzione.
Devo dimostrare che:
$ int_(-oo)^(oo) |(sen(4t))/(pit)| dx <oo $
Quello che ho fatto è questo:
Metodo formale
$1<=sen(4t)<=1 rArr |sen(4t)|<=1 $
$ rArr int_(-oo)^(oo) |(sen(4t))/(pit)| dx = int_(-oo)^(oo) |1/(pit)| dx$
Ma poi mi uscirebbe logaritmo di infinito ma ho provato a considerare $ 1/(pit)<piK $ ma mi troverei punto e a capo, perchè se $ t=0 $ sono fregato! Come potrei dimostrare che $ t $ limitata?
Metodo "calcoloso"
L'unica cosa che ho pensato e di utilizzare il calcolo dei residui e calcolarlo e dimostrarlo de facto che è limitato, Anche se ho qualche dubbio per la presenza del modulo.
$ int_(-oo)^(oo) |(sen(4t))/(pit)| dx = Imm( int_(-oo)^(oo) |(e^(jt))/(pit)| dx) $
$ lim_(x->0)|(e^(jt))/(pit)t| dx= lim_(x->0)|(e^(jt))/(pi)|=1/pi $
$ int_(-oo)^(oo) |(sen(4t))/(pit)| dx = 0 $ Non essendoci termini immaginari dovrei aver dimostrato l'ipotesi.
Metodo "più o meno"
$|(sen(4t))/(pit)|$ assomoglia ad una $ sinc(4t) $ la sinc dovrebbe essere limitata con massimo valore a 1 quindi:
(sen(4t))/(pit)=(4sen(4pit))/(4pit)=sinc(4t)
Spero di non aver inventato una nuova matematica :
$ int_(-oo)^(oo) |(sen(4t))/(pit)| dx=int_(-oo)^(oo) |sinc(4t)| dx <1<oo $