Sia \(R>0\) e \(f: \partial B(0,R) \to \mathbb{R} \). Considera il problema di trovare \(u=u(x,t) : \overline{B(0,R)} \to \mathbb{R} \) soluzione del problema
\[ \left\{\begin{matrix}
\Delta u = 0 & \text{su} & B(0,R) \\
u = f & \text{su} & \partial B(0,R)
\end{matrix}\right.
\]
i) Trova una soluzione formale \(v\) passando alle coordinate polari \(v(r,\theta):=u(r \cos \theta, r \sin \theta) \) e \(g(\theta):=f(R\cos \theta ,R\sin \theta ) \)
ii) Sotto l'ipotesi che \(g \in L^1 (0,2\pi) \), dimostra che \(v\) trovata in i) è una soluzione.
iii) Sotto l'ipotesi che \(g \in \mathcal{C}^3(\mathbb{R}) \) dimostra che \(\lim_{r \to R} v(r,\theta)=g(\theta) \), uniformemente in \(r\).
Per il punto i) lo abbiamo svolto a lezione in questo modo mentre i punti ii) e iii) sono come esercizi e non ho capito un paio di cose scritte in grassetto.
Abbiamo che passando alle coordinate polari il problema iniziale è equivalente al problema seguente
\[ \left\{\begin{matrix}
\frac{\partial^2 v}{\partial r^2} + \frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial r}+ \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 v}{\partial \theta^2}= 0 & \text{su} & (r,\theta) \in ]0,R[ \times ]0,2\pi[ \\
v(R,\theta) = g(\theta) & \text{su} & \theta \in ]0,2\pi[ \\
v(r,0)=v(r,2\pi) & & \\
\frac{\partial v}{\partial r}(r,0)= \frac{\partial v}{\partial r}(r,2 \pi) &&
\end{matrix}\right.
\]
non ho capito perché aggiunge la condizione \(\frac{\partial v}{\partial r}(r,0)= \frac{\partial v}{\partial r}(r,2 \pi)\)?
Utilizzando il metodo delle separazioni delle variabili poniamo \( v(r,\theta)=\phi(r) \psi (\theta) \)
e il problema diventa
\[ \left\{\begin{matrix}
\frac{r^2 \phi''(r) + r \phi'(r)}{\phi(r)} = - \frac{\psi''(\theta)}{\psi(\theta)} = \lambda \\
\phi(R)\psi(\theta)=g(\theta) \\
\phi(r)\psi(0)=\phi(r)\psi(2 \pi) \\
\phi(r) \psi'(0)=\phi(r)\psi'(2 \pi)
\end{matrix}\right.
\]
Dunque il problema si spezza in due problemi, il problema in \( \phi \) \( \frac{r^2 \phi''(r) + r \phi'(r)}{\phi(r)} =\lambda \) e il problema in \( \psi\)
\[ \left\{\begin{matrix}
\psi''(\theta)+\lambda \psi(\theta)=0 \\
\psi(0)=\psi(2 \pi) \\
\psi'(0)=\psi'(2 \pi)
\end{matrix}\right.
\]
lasciamo da parte per un momento la condizione che "mischia" le due variabili.
Risolviamo prima quello più restrittivo e abbiamo dunque che \( \lambda = n^2 \) e \( \psi_n(\theta) = \alpha_n \cos(n \theta) + \beta_n \sin(n \theta) \).
Dunque otteniamo che
\[
\phi_n(r) = \left\{\begin{matrix}
\gamma_0 + \delta_0 \log r & n=0 \\
\gamma_n r^n + \delta r^{-n} & n \neq 0
\end{matrix}\right.
\]
io non ho capito come trova \( \phi_n \)
Poniamo \( \delta_n = 0 \) per ogni \(n\) siccome vogliamo qualcosa che è regolare in \(r=0 \)
non ho capito perché porre \( \delta_n = 0 \).
Poniamo dunque
\[ v(r,\theta)= \alpha_0 \gamma_0 + \sum_{n=1}^{\infty} (\alpha_n \cos(n\theta) + \beta_n \sin(n \theta)) \gamma_n r^n \]
e
\[ g(\theta)= v(R,\theta) = \alpha_0 \gamma_0 + \sum_{n=1}^{\infty} ( \alpha_n \gamma_n R^n \cos(n \theta) + \beta_n \gamma_n R^n \sin(n\theta)) \]
Allora
\[ v(r,\theta) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} ( a_n \cos(n \theta) + b_n \sin(n \theta) ) \frac{r^n}{R^n} \]
dove
\[ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{ 2 \pi} g(\theta) \cos(n \theta) d\theta\]
\[ b_n = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{ 2 \pi} g(\theta) \sin(n \theta) d\theta\]
E abbiamo trovato la soluzione formale \(v\).
Ho un ulteriore domanda, come mai pone \[g(\theta) = \alpha_0 \gamma_0 + \sum_{n=1}^{\infty} ( \alpha_n \gamma_n R^n \cos(n \theta) + \beta_n \gamma_n R^n \sin(n\theta)) \]
non dovrebbe essere data \(g\) ?
Per ii) non ho ben capito cosa devo fare. Qualcuno può darmi un hint?