PDE's di Laplace sul disco.

[3m0o]

Sia \(R>0\) e \(f: \partial B(0,R) \to \mathbb{R} \). Considera il problema di trovare \(u=u(x,t) : \overline{B(0,R)} \to \mathbb{R} \) soluzione del problema
\[ \left\{\begin{matrix}
\Delta u = 0 & \text{su} & B(0,R) \\
u = f & \text{su} & \partial B(0,R)
\end{matrix}\right.
\]
i) Trova una soluzione formale \(v\) passando alle coordinate polari \(v(r,\theta):=u(r \cos \theta, r \sin \theta) \) e \(g(\theta):=f(R\cos \theta ,R\sin \theta ) \)
ii) Sotto l'ipotesi che \(g \in L^1 (0,2\pi) \), dimostra che \(v\) trovata in i) è una soluzione.
iii) Sotto l'ipotesi che \(g \in \mathcal{C}^3(\mathbb{R}) \) dimostra che \(\lim_{r \to R} v(r,\theta)=g(\theta) \), uniformemente in \(r\).

Per il punto i) lo abbiamo svolto a lezione in questo modo mentre i punti ii) e iii) sono come esercizi e non ho capito un paio di cose scritte in grassetto.
Abbiamo che passando alle coordinate polari il problema iniziale è equivalente al problema seguente
\[ \left\{\begin{matrix}
\frac{\partial^2 v}{\partial r^2} + \frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial r}+ \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 v}{\partial \theta^2}= 0 & \text{su} & (r,\theta) \in ]0,R[ \times ]0,2\pi[ \\
v(R,\theta) = g(\theta) & \text{su} & \theta \in ]0,2\pi[ \\
v(r,0)=v(r,2\pi) & & \\
\frac{\partial v}{\partial r}(r,0)= \frac{\partial v}{\partial r}(r,2 \pi) &&
\end{matrix}\right.
\]
non ho capito perché aggiunge la condizione \(\frac{\partial v}{\partial r}(r,0)= \frac{\partial v}{\partial r}(r,2 \pi)\)?
Utilizzando il metodo delle separazioni delle variabili poniamo \( v(r,\theta)=\phi(r) \psi (\theta) \)
e il problema diventa
\[ \left\{\begin{matrix}
\frac{r^2 \phi''(r) + r \phi'(r)}{\phi(r)} = - \frac{\psi''(\theta)}{\psi(\theta)} = \lambda \\
\phi(R)\psi(\theta)=g(\theta) \\
\phi(r)\psi(0)=\phi(r)\psi(2 \pi) \\
\phi(r) \psi'(0)=\phi(r)\psi'(2 \pi)
\end{matrix}\right.
\]
Dunque il problema si spezza in due problemi, il problema in \( \phi \) \( \frac{r^2 \phi''(r) + r \phi'(r)}{\phi(r)} =\lambda \) e il problema in \( \psi\)
\[ \left\{\begin{matrix}
\psi''(\theta)+\lambda \psi(\theta)=0 \\
\psi(0)=\psi(2 \pi) \\
\psi'(0)=\psi'(2 \pi)
\end{matrix}\right.
\]
lasciamo da parte per un momento la condizione che "mischia" le due variabili.
Risolviamo prima quello più restrittivo e abbiamo dunque che \( \lambda = n^2 \) e \( \psi_n(\theta) = \alpha_n \cos(n \theta) + \beta_n \sin(n \theta) \).
Dunque otteniamo che
\[
\phi_n(r) = \left\{\begin{matrix}
\gamma_0 + \delta_0 \log r & n=0 \\
\gamma_n r^n + \delta r^{-n} & n \neq 0
\end{matrix}\right.
\]
io non ho capito come trova \( \phi_n \)
Poniamo \( \delta_n = 0 \) per ogni \(n\) siccome vogliamo qualcosa che è regolare in \(r=0 \)
non ho capito perché porre \( \delta_n = 0 \).

Poniamo dunque
\[ v(r,\theta)= \alpha_0 \gamma_0 + \sum_{n=1}^{\infty} (\alpha_n \cos(n\theta) + \beta_n \sin(n \theta)) \gamma_n r^n \]
e
\[ g(\theta)= v(R,\theta) = \alpha_0 \gamma_0 + \sum_{n=1}^{\infty} ( \alpha_n \gamma_n R^n \cos(n \theta) + \beta_n \gamma_n R^n \sin(n\theta)) \]
Allora
\[ v(r,\theta) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} ( a_n \cos(n \theta) + b_n \sin(n \theta) ) \frac{r^n}{R^n} \]
dove
\[ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{ 2 \pi} g(\theta) \cos(n \theta) d\theta\]
\[ b_n = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{ 2 \pi} g(\theta) \sin(n \theta) d\theta\]

E abbiamo trovato la soluzione formale \(v\).
Ho un ulteriore domanda, come mai pone \[g(\theta) = \alpha_0 \gamma_0 + \sum_{n=1}^{\infty} ( \alpha_n \gamma_n R^n \cos(n \theta) + \beta_n \gamma_n R^n \sin(n\theta)) \]
non dovrebbe essere data \(g\) ?

Per ii) non ho ben capito cosa devo fare. Qualcuno può darmi un hint?

[3m0o]

Per ii) forse devo fare questo ??
Supponendo \(g \in L^1(0,2\pi) \) ottengo che \(a_n ,b_n \) sono limitati e dunque esiste \( M \) tale che \( \sup_{n \in \mathbb{N}} \{ \left| a_n \right|, \left| b_n \right|\} < M \) pertanto ottengo che

\[ v_N(r,\theta) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{N} (a_n \cos(n\theta) + b_n \sin(n\theta))\frac{r^n}{R^n} \]
è una funzione \( \mathcal{C}^{\infty}(]0,R[\times ]0,2\pi [) \) siccome combinazione lineare finita di funzioni \( \mathcal{C}^{\infty}\).
Abbiamo che siccome \( v(r,\theta) \) converge, poiché converge assolutamente, allora per unicità del limite e per definizione di somma parziale, \( v_N \xrightarrow[]{N \to \infty} v \) siccome
\[ \left| v(r,\theta) \right| \leq \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left| a_n \frac{r^n}{R^n} \cos(n \theta) \right| + \sum_{n=1}^{\infty} \left| b_n \frac{r^n}{R^n} \sin(n \theta) \right| \leq k M \sum_{n=1}^{\infty} \frac{r^n}{R^n } < \infty \]
dove \(k \) è una costante.

Inoltre siano
\[ \phi_{2,N}(r,\theta) = \sum_{n=1}^{N} \frac{\partial^2}{\partial r^2} (a_n \cos(n\theta) + b_n \sin(n\theta))\frac{r^n}{R^n} = \sum_{n=1}^{N} n(n-1) (a_n \cos(n\theta) + b_n \sin(n\theta))\frac{r^{n-2}}{R^n} \]
e
\[ \phi_{1,N}(r,\theta) = \sum_{n=1}^{N} \frac{\partial}{\partial r} (a_n \cos(n\theta) + b_n \sin(n\theta))\frac{r^n}{R^n} = \sum_{n=1}^{N} n (a_n \cos(n\theta) + b_n \sin(n\theta))\frac{r^{n-1}}{R^n} \]
e
\[ \psi_{2,N}(r,\theta) = \sum_{n=1}^{N} \frac{\partial^2}{\partial \theta^2} (a_n \cos(n\theta) + b_n \sin(n\theta))\frac{r^n}{R^n} = \sum_{n=1}^{N}(-n^2) (a_n \cos(n\theta) + b_n \sin(n\theta))\frac{r^n}{R^n} \]
i candidati alle derivate parziali, devo dimostrare che
\[ \phi_{2,N} \xrightarrow[]{N \to \infty} \frac{\partial^2 v}{\partial r^2} \]
\[ \phi_{1,N} \xrightarrow[]{N \to \infty} \frac{\partial v}{\partial r} \]
\[ \psi_{2,N} \xrightarrow[]{N \to \infty} \frac{\partial^2 v}{\partial \theta^2} \]
uniformemente in \((r,\theta) \).

[3m0o]

Right? È così che devo procedere?? Grazie mille se qualcuno ha voglia/tempo di leggere come ho risolto i punti ii) e iii) e dirmi se effettivamente è corretto.

Inoltre siano
\[ \phi_{2,N}(r,\theta) = \sum_{n=1}^{N} \frac{\partial^2}{\partial r^2} (a_n \cos(n\theta) + b_n \sin(n\theta))\frac{r^n}{R^n} = \sum_{n=1}^{N} n(n-1) (a_n \cos(n\theta) + b_n \sin(n\theta))\frac{r^{n-2}}{R^n} \]
e
\[ \phi_{1,N}(r,\theta) = \sum_{n=1}^{N} \frac{\partial}{\partial r} (a_n \cos(n\theta) + b_n \sin(n\theta))\frac{r^n}{R^n} = \sum_{n=1}^{N} n (a_n \cos(n\theta) + b_n \sin(n\theta))\frac{r^{n-1}}{R^n} \]
e
\[ \psi_{2,N}(r,\theta) = \sum_{n=1}^{N} \frac{\partial^2}{\partial \theta^2} (a_n \cos(n\theta) + b_n \sin(n\theta))\frac{r^n}{R^n} = \sum_{n=1}^{N}(-n^2) (a_n \cos(n\theta) + b_n \sin(n\theta))\frac{r^n}{R^n} \]
i candidati alle derivate parziali, devo dimostrare che
\[ \phi_{2,N} \xrightarrow[]{N \to \infty} \frac{\partial^2 v}{\partial r^2} \]
\[ \phi_{1,N} \xrightarrow[]{N \to \infty} \frac{\partial v}{\partial r} \]
\[ \psi_{2,N} \xrightarrow[]{N \to \infty} \frac{\partial^2 v}{\partial \theta^2} \]
uniformemente in \((r,\theta) \).

Penso che devo proprio fare questo per verificare che la mia soluzione formale soddisfa l'equazione di Laplace ed è effettivamente soluzione del problema. Abbiamo per definizione che \(v_N \to v \) puntualmente. Inoltre rinomino le mie successioni di funzioni funzioni in modo più giudizioso.
\[ \phi_{2,r}(r,\theta) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\partial^2}{\partial r^2} (a_n \cos(n\theta) + b_n \sin(n\theta))\frac{r^n}{R^n} = \sum_{n=1}^{\infty} n(n-1) (a_n \cos(n\theta) + b_n \sin(n\theta))\frac{r^{n-2}}{R^n} \]
e
\[ \phi_{1,r}(r,\theta) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\partial}{\partial r} (a_n \cos(n\theta) + b_n \sin(n\theta))\frac{r^n}{R^n} = \sum_{n=1}^{\infty} n (a_n \cos(n\theta) + b_n \sin(n\theta))\frac{r^{n-1}}{R^n} \]
e
\[ \psi_{2,\theta}(r,\theta) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\partial^2}{\partial \theta^2} (a_n \cos(n\theta) + b_n \sin(n\theta))\frac{r^n}{R^n} = \sum_{n=1}^{\infty}(-n^2) (a_n \cos(n\theta) + b_n \sin(n\theta))\frac{r^n}{R^n} \]

Mentre la successione di funzioni
\[ \frac{\partial^2 v_N}{\partial r^2}(r,\theta) = \sum_{n=1}^{N} \frac{\partial^2}{\partial r^2} (a_n \cos(n\theta) + b_n \sin(n\theta))\frac{r^n}{R^n} = \sum_{n=1}^{N} n(n-1) (a_n \cos(n\theta) + b_n \sin(n\theta))\frac{r^{n-2}}{R^n} \]
e
\[ \frac{\partial v_N}{\partial r}(r,\theta) = \sum_{n=1}^{N} \frac{\partial}{\partial r} (a_n \cos(n\theta) + b_n \sin(n\theta))\frac{r^n}{R^n} = \sum_{n=1}^{N} n (a_n \cos(n\theta) + b_n \sin(n\theta))\frac{r^{n-1}}{R^n} \]
e
\[ \frac{\partial^2 v_N}{\partial \theta^2}(r,\theta) = \sum_{n=1}^{N} \frac{\partial^2}{\partial \theta^2} (a_n \cos(n\theta) + b_n \sin(n\theta))\frac{r^n}{R^n} = \sum_{n=1}^{N}(-n^2) (a_n \cos(n\theta) + b_n \sin(n\theta))\frac{r^n}{R^n} \]

dove in questo caso la permutazione derivata e somma è giustificata dal fatto che ho una somma finita.
Ora posso per ogni compatto \(K \subset ]0,R[ \times ]0,2\pi[ \) tale che \(\operatorname{dist} (K,]0,R[ \times ]0,2\pi[)=: \delta_K \), e dunque \( \forall (r,\theta) \in K \) tale che \( r > \delta_k \) ottengo che
\[ \left| \frac{\partial^2 v_N}{\partial r^2}(r,\theta) - \phi_{2,r}(r,\theta) \right| \leq \sum_{n=N+1}^{\infty} \left| n(n-1) (a_n \cos(n\theta) + b_n \sin(n\theta))\frac{r^{n-2}}{R^n} \right| \]
\[\leq \sum_{n=N+1}^{\infty} n(n-1) \left| a_n \right|\frac{r^{n-2}}{R^n} + \sum_{n=N+1}^{\infty} n(n-1) \left| b_n \right|\frac{r^{n-2}}{R^n} \leq 2 \sum_{n=N+1}^{\infty} n(n-1) M \frac{r^{n-2}}{R^n} \]
\[ \leq 2 \sum_{n=N+1}^{\infty} n(n-1) M \frac{\delta_K^{n-2}}{R^n} \xrightarrow[]{N \to \infty} 0 \]
siccome con \( \left| x \right| < 1 \) abbiamo che
\[ \sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) x^{n-2} < \infty \]
e dunque la coda va a zero.
In più siccome l'ultimo termine non dipende da \(r\) ne da \(\theta\) abbiamo che la convergenza è localmente uniformemente su ogni compatto e dunque la convergenza è uniforme in \((r,\theta)\).
In modo analogo per
\[ \left| \frac{\partial v_N}{\partial r}(r,\theta) - \phi_{1,r}(r,\theta) \right| \]
Mentre per

\[ \left| \frac{\partial^2 v_N}{\partial \theta^2}(r,\theta) - \psi_{2,\theta}(r,\theta) \right| \leq \sum_{n=N+1}^{N} \left| (-n^2) (a_n \cos(n\theta) + b_n \sin(n\theta))\frac{r^n}{R^n} \right| \leq 2 \sum_{n=N+1}^{N} n^2 M \frac{\delta_K^n}{R^n} \xrightarrow[]{N \to \infty} 0 \]

E dunque la soluzione formale \(v(r,\theta)\) soddisfa l'equazione
\[ \frac{\partial^2 v}{\partial r^2} + \frac{1}{r} \frac{\partial v}{\partial v} + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 v}{\partial \theta^2} = 0 \]
su \((r,\theta) \in ]0,R[ \times ]0,2 \pi[ \).

Ci resta a verificare iii) per verificare che anche che la soluzione \(v(R,\theta)=g(\theta) \) è soddisfatta.

Ipotizziamo dunque che \(g \in \mathcal{C}^3(\mathbb{R}) \) dove \( g : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) per estensione di \(2 \pi \)-periodicità. Abbiamo dunque che
\[ \left| v(r,\theta) - g(\theta) \right| \leq \sum_{n=1}^{\infty} \left| (a_n \cos(n\theta) + b_n \sin(n\theta))\frac{r^n}{R^n} - (a_n \cos(n\theta) + b_n \sin(n\theta)) \right| \]
\[ \leq \sum_{n=1}^{\infty} \left| a_n \cos(n\theta) \right| \left| 1-\frac{r^n}{R^n}\right| + \sum_{n=1}^{\infty} \left| b_n \sin(n\theta) \right| \left| 1-\frac{r^n}{R^n}\right| \]
Inoltre poiché \(g \in \mathcal{C}^3(\mathbb{R}) \) esiste una costante \(k \) tale che \( \left| a_n \right|,\left| b_n \right| \leq \frac{k}{n^3} \)
Inoltre abbiamo che
\[ 0 \leq 1- \frac{r^n}{R^n} \leq 1 - e^{- \ln (\frac{R^n}{r^n})} \leq n \ln \left( \frac{R}{r} \right) \]
otteniamo che
\[ \left| v(r,\theta) - g(\theta) \right| \leq 2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{k}{n^3} n \ln \left( \frac{R}{r} \right) = 2k \ln \left( \frac{R}{r} \right) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \xrightarrow[]{r \to R} 0 \]
Poiché
\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} < \infty \]
Inoltre poiché l'ultimo termine è indipendente da \( \theta \) abbiamo che la convergenza è uniforme in \( \theta \) e presumo che nell'enunciato vi sia un typo poiché l'uniformità dev'essere in \( \theta \) e non in \( r \).
E quindi la \(v \) formale è una soluzione se \( g \in L^1 \) e \(g \in \mathcal{C}^3 \).

[Raptorista]

Ciao, non ho letto tutto ma rispondo al primo messaggio.

non ho capito perché aggiunge la condizione \(\frac{\partial v}{\partial r}(r,0)= \frac{\partial v}{\partial r}(r,2 \pi)\)?

Questa è solo una condizione di compatibilità, siccome sei in coordinate polari, quando sei a \(2\pi\) sei tornato a zero e quindi \(\partial_r v\) deve essere la stessa.

io non ho capito come trova \( \phi_n \)

Se provi a calcolarla cosa ti esce?

non ho capito perché porre \( \delta_n = 0 \).

Perché la tua funzione è definita in \(r=0\), e l'unico modo in cui quell'espansione può essere definita in \(r = 0\) è eliminando tutti i termini del tipo \(r^{-n}\).

Ho un ulteriore domanda, come mai pone \[g(\theta) = \alpha_0 \gamma_0 + \sum_{n=1}^{\infty} ( \alpha_n \gamma_n R^n \cos(n \theta) + \beta_n \gamma_n R^n \sin(n\theta)) \]
non dovrebbe essere data \(g\) ?

I \(\gamma_n\) sono calcolati nel problema per \(\phi\) che contiene \(g\) come condizione al bordo, quindi i \(\gamma_n\) codificano \(g\), sono dei \(\gamma_n = \gamma_n(g)\). Siccome quindi \(v\) in \(r = R\) è \(g\), puoi espandere la tua particolare \(g\) in quel modo.

[3m0o]

Questa è solo una condizione di compatibilità, siccome sei in coordinate polari, quando sei a \(2\pi\) sei tornato a zero e quindi \(\partial_r v\) deve essere la stessa.

Ma quest'informazione non è già descritta dall'equazione \(v(r,0)=v(r,2\pi) \)? Non capisco perché ho bisogno di richiedere che pure la derivata sia uguale, nel problema non in polari c'è solo \(u=f\) non \(u'=f'\).

Se provi a calcolarla cosa ti esce?

Onestamente beh... non saprei come calcolarla quella EDO

I \(\gamma_n\) sono calcolati nel problema per \(\phi\) che contiene \(g\) come condizione al bordo, quindi i \(\gamma_n\) codificano \(g\), sono dei \(\gamma_n = \gamma_n(g)\). Siccome quindi \(v\) in \(r = R\) è \(g\), puoi espandere la tua particolare \(g\) in quel modo.

Okay quindi semplicemente quella è la serie di Fourier di \(g\) anche se la conosco a priori. Ma per trovarla ho bisgono di trovare gli \( \alpha_n\), \(\beta_n\) e i \( \gamma_n\) ?

Il secondo messaggio è un po' confuso e l'ho chiarito meglio nel terzo e la domanda sostanzialmente per il mio terzo messaggio (che contiene il secondo) per risolvere il punto ii) è corretto verificare
1)
\[ \frac{\partial^2 v_N}{\partial r^2} \to \phi_{2,r} \]
\[ \frac{\partial v_N}{\partial r} \to \phi_{1,r} \]
\[ \frac{\partial^2 v_N}{\partial \theta^2} \to \psi_{2,\theta} \]
localmente uniformemente in \((r,\theta)\). Per verificare che la mia soluzione formale \(v\) soddisfa l'equazione
\( \frac{\partial^2 v}{\partial r^2} + \frac{1}{r} \frac{\partial v}{\partial r} + \frac{1}{r^2} \frac{ \partial^2 v}{\partial \theta^2} = 0 \)
1.1) È giusto localmente uniformemente o dev'essere uniforme? La convergenza uniforme (o loc. unif.) la devo richiedere per poter permutare serie e derivate o per un altro motivo?

2) È possibile che la mia soluzione formale \(v\) non è soluzione effettiva del problema?
3) Non ho capito perché devo verificare che posso permutare derivata e serie. Non potrebbe arrivare che le derivate siano un'altra cosa che soddisfano comunque l'equazione di Laplace? Per essere soluzione devo necessariamente poter permutare derivata ed serie?
4) Oppure se esiste una soluzione allora questa è quella formale e quindi devo verificare necessariamente per quali ipotesi su \(g\) è effettivamente soluzione e se non ho quelle ipotesi allora non esiste soluzione al problema?

[Raptorista]

Ma quest'informazione non è già descritta dall'equazione \(v(r,0)=v(r,2\pi) \)? Non capisco perché ho bisogno di richiedere che pure la derivata sia uguale, nel problema non in polari c'è solo \(u=f\) non \(u'=f'\).

Forse è un cavillo per il fatto che di solito la derivata non è definita fino al bordo del dominio, ma qui il bordo sparisce ed estendi la definizione. Sembra ridondante, magari lo è.

Onestamente beh... non saprei come calcolarla quella EDO

Dai, dai!!

Il caso \(n = 0\) si fa a mente:
\[
\frac{r^2\phi'' + r \phi'}{\phi} = 0
\]
in cui prima ti liberi del denominatore, poi DIVIDI PER \('\), poi MOLTIPLICHI PER \(dx\) e, quando Bourbaki ha finito di rigirarsi nella tomba, integri becausewhynot e arrivi dritto dritto alla soluzione.

Okay quindi semplicemente quella è la serie di Fourier di \(g\) anche se la conosco a priori. Ma per trovarla ho bisgono di trovare gli \( \alpha_n\), \(\beta_n\) e i \( \gamma_n\) ?

I \(\gamma_n\) li hai già dal passaggio prima, mentre gli \(a_n\) e i \(b_n\) li devi calcolare per l'espansione. Di solito l'idea in questi procedimenti è che se scomponi le funzioni lungo una base ortonormale poi puoi risolvere le equazioni semplicemente uguagliando i rispettivi coefficienti.

Il secondo messaggio è un po' confuso e l'ho chiarito meglio nel terzo e la domanda sostanzialmente per il mio terzo messaggio (che contiene il secondo) per risolvere il punto ii) è corretto verificare
1)
\[ \frac{\partial^2 v_N}{\partial r^2} \to \phi_{2,r} \]
\[ \frac{\partial v_N}{\partial r} \to \phi_{1,r} \]
\[ \frac{\partial^2 v_N}{\partial \theta^2} \to \psi_{2,\theta} \]
localmente uniformemente in \((r,\theta)\). Per verificare che la mia soluzione formale \(v\) soddisfa l'equazione
\( \frac{\partial^2 v}{\partial r^2} + \frac{1}{r} \frac{\partial v}{\partial r} + \frac{1}{r^2} \frac{ \partial^2 v}{\partial \theta^2} = 0 \) 1.1) È giusto localmente uniformemente o dev'essere uniforme? La convergenza uniforme (o loc. unif.) la devo richiedere per poter permutare serie e derivate o per un altro motivo?

Qui prendimi con le pinze perché è un pezzo che non ragiono su convergenze varie.
Il punto di questi esercizi è che tu fai tutta una serie di conti senza preoccuparti che abbiano realmente senso ed arrivi a "qualcosa" [= la soluzione formale]. Il secondo passo è quello di verificare che i conti abbiano effettivamente senso. Ad esempio: i coefficienti \(a_n\) sono calcolati tramite degli integrali. Quegli integrali convergono? Che ipotesi ti servono sui dati affinché convergano?
Quello che devi fare nel punto ii è verificare che tutti i passaggi siano leciti, le operazioni convergano, i dati siano sufficientemente regolari, eccetera.

2) È possibile che la mia soluzione formale \(v\) non è soluzione effettiva del problema?

Se ti esce \(b_4 = +\infty\), è un cattivo segno.

3) Non ho capito perché devo verificare che posso permutare derivata e serie. Non potrebbe arrivare che le derivate siano un'altra cosa che soddisfano comunque l'equazione di Laplace? Per essere soluzione devo necessariamente poter permutare derivata ed serie?
4) Oppure se esiste una soluzione allora questa è quella formale e quindi devo verificare necessariamente per quali ipotesi su \(g\) è effettivamente soluzione e se non ho quelle ipotesi allora non esiste soluzione al problema?

Se la soluzione formale non va bene, la soluzione potrebbe essere un'altra.