Ah, ecco, non avevo capito.
Insomma vuoi stabilire qual è il limite delle distribuzioni regolari $F_n$ rappresentate dalle funzioni $f_n$ sugli spazi dei test $mathcal(D) = C_c^oo$ ed $mathcal(S)$.
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Ricordo che una distribuzione $F$ è detta regolare se esiste una funzione $f in L_text(loc)^1$ tale che:
$<< F, phi >> = int_(-oo)^(+oo) f(x) * phi(x) text(d) x$
per ogni test $phi$; in tal caso, si dice che $f$ rappresenta $F$.
Ora, le funzioni:
$f_n(x) = e^(-x) * H(x) * chi_("["0,n"]")(x) = \{ (e^(-x), ", se " 0 <= x <= n), (0, ", se " x < 0 vv x > n) :}$
(in cui immagino che $H$ sia il gradino unitario centrato in $0$ e $chi_E$ sia la funzione caratteristica di $E$) sono q.o. continue, quindi sono localmente sommabili e rappresentano le distribuzioni regolari $F_n$ definite ponendo:
$<< F_n, phi >> = int_0^n e^(-x) * phi(x) text(d) x$
per ogni $phi in mathcal(D) = C_c^oo$ oppure $phi in mathcal(S)$.
Il limite della successione $(F_n)$ in $mathcal(D)^\prime$ è -se esiste- l'unica distribuzione $F in mathcal(D)^\prime$ tale che:
$<<F, phi>> = lim_n << F_n, phi >>$
per ogni test $phi in mathcal(D)$.
Analogamente, il limite della successione $(F_n)$ in $mathcal(S)^\prime$ è -se esiste- l'unica distribuzione $hat(F) in mathcal(S)^\prime$ tale che:
$<< hat(F) , phi >> = lim_n << F_n, phi >>$
per ogni test $phi in mathcal(S)$.
Conseguentemente, la distribuzione limite $F$ [risp. $hat(F)$ ] è -se esiste- quella che viene fuori dal passaggio al limite:
$<< F, phi >> = lim_n int_0^n e^(-x) * phi(x) text(d) x$ [risp. $<< hat(F), phi >> = lim_n int_0^n e^(-x) * phi(x) text(d) x$]
con $phi in mathcal(D)$ [risp. $phi in mathcal(S)$].
Cominciamo a ragionare in $mathcal(D)^\prime$.
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Formalmente:
$lim_n int_0^n e^(-x) * phi(x) text(d) x = int_0^(+oo) e^(-x) * phi(x) text(d) x $
con l'integrale al secondo membro convergente perché $phi$ è a supporto compatto (dunque l'integrando è identicamente nullo per $x > n$ con $n$ "sufficientemente grande"); quindi:
$<< F, phi >> = int_0^(+oo) e^(-x) * phi(x) text(d) x = int_(-oo)^(+oo) e^(-x) * H(x) * phi(x) text(d) x = int_(-oo)^(+oo) g(x) * phi(x) text(d) x = << G, phi >>$,
in cui $G in mathcal(D)^\prime$ è la distribuzione regolare rappresentata da $g$, perciò $F=lim_n F_n=G$ in $mathcal(D)^\prime$.
Vediamo cosa succede in $mathcal(S)^\prime$.
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Ovviamente, l'idea è la stessa, cioè si deve passare al limite:
$<< hat(F), phi >> = lim_n int_0^n e^(-x) * phi(x) text(d) x = int_0^(+oo) e^(-x) * phi (x) text(d) x$
per $phi in mathcal(S)$... Ma qui dobbiamo essere un po' più accorti perché $phi$ non è identicamente nulla fuori da un compatto, quindi dobbiamo dimostrare che l'integrale improprio $int_0^(+oo) e^(-x) * phi (x) text(d) x$ è convergente.
Per definizione:
$phi in mathcal(S) <=> phi in C^oo text( e ) AA p,k in NN, EE M=M_(p,k) >= 0:\ AA x in RR, |x^p ("d"^k)/("d" x^k) phi(x) | <= M$,
e da ciò segue che $phi$ è infinitesima all'infinito e, perciò, limitata in $RR$; ne viene che esiste $M >= 0$ (si può prendere $M := "sup" |phi|$):
$|e^(-x) * phi(x)| <= M e^(-x)$
per $x >= 0$ e ciò, per i teoremi del confronto, assicura che $e^(-x) * phi(x)$ è sommabile in $[0,+oo[$ e la convergenza dell'integrale $int_0^(+oo) e^(-x) * phi (x) text(d) x$.
Dunque come prima concludiamo che:
$<< hat(F) , phi >> = << G, phi >>$
ossia che $hat(F)$ coincide con la distribuzione regolare $G$ rappresentata da $g$.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)