Risoluzione integrali impropri in campo complesso

Buonasera,
sto studiando l'equazione di d'Alambert con campo scalare in un mezzo omogeneo nel tempo e nello spazio. In particolare il calcolo della green function, ovvero il campo irradiato da una sorgente impulsiva nello spazio e nel tempo:
\(\displaystyle
(\nabla^2 - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}) g(\mathbf{R},\tau)= \delta(\mathbf{R}) \delta(\tau)
\)
Ovviamente per l'unicità servono anche le condizioni iniziali sulla funzione e sulla derivata prima.

Per la risoluzione, il libro fa la trasformata di Fourier spazio-temporale dell'equazione, ottenendo:
\(\displaystyle
[-K^2 + k^2] \tilde{G}(\mathbf{K},\omega)=1
\)
dove $K^2=\mathbf{K}\cdot \mathbf{K}$, $k=\omega/c$.
Poi fa l'antitrasformata, ottenendo
\(\displaystyle
g(\mathbf{R},\tau)= \frac{1}{(2\pi)^4} \int_{-\infty}^{+\infty} d\omega \int d\mathbf{K} \frac{e^{i(\mathbf{K}\cdot\mathbf{R}- \omega \tau)}}{-K^2+k^2}
\)
Ora, il testo osserva che, contrariamente alle apparenze, sicuramente anche quest'ultima espressione non descrive univocamente la green function, dato che non abbiamo usato da alcuna parte le condizioni iniziali. Ciò è dovuto alla natura impropria dell'integrale per la presenza dei poli $k=\omega/c=\pm K$. Per dare significato all'integrale è necessario deformare il percorso di integrazione per evitare i poli.
Poi senza, dimostrare come ci si arrivi, verifica che, scegliendo come percorso di integrazione non l'asse reale ma una retta parallela ad esso con parte immaginaria positiva, l'integrale, risolto poi sfruttando il teorema dei residui e i lemmi di jordan, è una green function causale, cioè con condizioni iniziali nulle.
Non capisco il motivo per cui, con tanta disinvoltura, si possa modificare il percorso di integrazione e perché questo corrisponda ad imporre una diversa condizione iniziale ma nel dominio trasformato. Dall'esame di metodi matematici per l'ingegneria ricordo di integrali di funzioni con poli sull'asse reale che quindi andavano risolti con l'indentatura intorno al polo, ma facendo poi il limite per $\varepsilon\to 0$ per ricondursi, al limite, al percorso sull'asse reale. (Scusate la pessima spiegazione).
Invece in questo caso modifico completamente il percorso di integrazione e non faccio nessun limite per ricondurmi a quello iniziale. Anzi sembra che la libertà del percorso di integrazione sia importante proprio per poter scegliere le condizioni iniziali.

Potreste spiegarmi qual è la teoria necessaria per capire e da dove studiarla? Grazie

Buongiorno, cerco di riformulare la domanda in modo più chiaro:
sto studiando l'equazione di d'Alambert con campo scalare in un mezzo omogeneo nel tempo e nello spazio. In particolare il calcolo della green function, ovvero il campo irradiato da una sorgente impulsiva nello spazio e nel tempo:
\(\displaystyle
(\nabla^2 - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}) g(\mathbf{R},\tau)= \delta(\mathbf{R}) \delta(\tau)
\)
Ovviamente per l'unicità servono anche le condizioni iniziali sulla funzione e sulla derivata prima.

Per la risoluzione, il libro fa la trasformata di Fourier spazio-temporale dell'equazione, ottenendo:
\(\displaystyle
[-K^2 + k^2] \tilde{G}(\mathbf{K},\omega)=1
\)
dove $K^2=\mathbf{K}\cdot \mathbf{K}$, $k=\omega/c$.
Poi fa l'antitrasformata, ottenendo
\(\displaystyle
g(\mathbf{R},\tau)= \frac{1}{(2\pi)^4} \int_{-\infty}^{+\infty} d\omega \int d\mathbf{K} \frac{e^{i(\mathbf{K}\cdot\mathbf{R}- \omega \tau)}}{-K^2+k^2}
\)
Ora, il testo osserva che, contrariamente alle apparenze, sicuramente anche quest'ultima espressione non descrive univocamente la green function, dato che non abbiamo usato da alcuna parte le condizioni iniziali. Ciò è dovuto alla natura impropria dell'integrale per la presenza dei poli $k=\omega/c=\pm K$. Per dare significato all'integrale è necessario deformare il percorso di integrazione per evitare i poli.
Poi senza, dimostrare come ci si arrivi, verifica che, scegliendo come percorso di integrazione non l'asse reale ma una retta parallela ad esso con parte immaginaria positiva, l'integrale, risolto poi sfruttando il teorema dei residui e i lemmi di jordan, è una green function causale, cioè con condizioni iniziali nulle.

Potreste spiegarmi meglio questo ragionamento? Probabilmente ho delle lacune di analisi che mi impediscono di capire. Qual è la teoria necessaria per capire e da dove studiarla? Grazie

Si, prova a consultare il libro "Basic partial differential equations" di François Treves, capitolo 7 ("soluzione fondamentale dell'equazione delle onde", i matematici usano parlare di "soluzione fondamentale" laddove spesso i fisici dicono "funzione di green", ma è sempre la stessa cosa).

Si, prova a consultare il libro "Basic partial differential equations" di François Treves, capitolo 7 ("soluzione fondamentale dell'equazione delle onde", i matematici usano parlare di "soluzione fondamentale" laddove spesso i fisici dicono "funzione di green", ma è sempre la stessa cosa).

Non so se riuscirò a reperire proprio quel libro ma mi hai dato l'argomento da ricercare. Grazie per la risposta!

Per adesso ho trovato qualcosa su internet https://www.mathtube.org/sites/default/ ... ichael.pdf

Credo che la parte che mi interessi sia il paragrafo 3.7, pag 32-33.

Dice che quando una funzione è a supporto compatto, allora la sua trasformata di Fourier è una funzione analitica per valori complessi di $\omega$. Quindi, spostandoci dall'asse reale di $\omega$ possiamo evitare gli zeri. Quindi, invece di integrare lungo la retta $\omega=0$, dove incontriamo dei poli, integriamo sulla retta $\omega + i\varepsilon$.

Io continuo a non capire, ripeto sicuramente per delle lacune pregresse. Spero però che qualcuno possa spiegarmi quanto scritto sopra, almeno in generale.

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