Esercizio Spazi Lp

[manuelb9393]

Buongiorno ragazzi, vi chiedo uno spunto per cominciare questo esercizio poiché non mi viene proprio in mente come partire:


Sia $1<=p_1<p<p_2<=+infty$. Mostrare che se $f in L^p(\R^n)$ allora esistono due funzioni $f_1 in L^(p_1)(\R^n)$ e $f_2 in L^(p_2)(\R^n)$ tali che $f=f_1+f_2$.

Grazie in anticipo

[Overflow94]

$f = g + h$ dove:

$ g(x) = \{ ( f(x), text(, se ) |f(x)|>=1 ),(0, text(, altrimenti) ):} $ ed $ h(x) = \{ ( f(x), text(, se ) |f(x)|<1 ),(0, text(, altrimenti) ):} $ .

Abbiamo $|g(x)|^{p_1} <= |f(x)|^p$, quindi $g in L^{p_1}$ e $|h(x)|^{p_2} <= |f(x)|^p$ quindi $h in L^{p_2}$.

[manuelb9393]

Grazie, mi hai fatto sentire un po' stupido perché era davvero banale ma ti ringrazio