Convergenza monotona con serie di funzioni
Inviato: 29/06/2023, 15:26Se $f_n>=0$ sono misurabili su $A$, allora $\int_A\sum_{n=1}^{+infty}f_n(x)d\mu=\sum_{n=1}^{+infty}\int_Af_n(x)d\mu$.
Io ho fatto così (se qualcuno mi sa dire se va bene, grazie):
Se mostriamo che la successione di funzioni $s_k(x)=\sum_{n=1}^{k}f_n(x)$ verifica le ipotesi del teorema di convergenza monotona di Beppo Levi allora vale che $\sum_{n=1}^{+infty}\int_Af_n(x)d\mu=lim_(k->+infty)\sum_{n=1}^{k}\int_Af_n(x)d\mu=lim_(k->+infty)\int_A\sum_{n=1}^{k}f_n(x)d\mu=\int_Alim_(k->+infty)\sum_{n=1}^{k}f_n(x)d\mu=\int_A\sum_{n=1}^{+infty}f_n(x)d\mu$.
Abbiamo che $s_k(x)$ è non negativa e misurabile su $A$ poichè somma di funzione non negative e misurabili su $A$. Inoltre si ha che $s_(n+1)(x)-s_n(x)=f_(n+1)(x)>=0$ per cui $s_(n+1)(x)>=s_n(x)$ e quindi la successione di funzioni $s_k(x)$ è crescente, perciò $s_k(x) soddisfa tutte le ipotesi del teorema di convergenza monotona di Beppo Levi.
Io ho fatto così (se qualcuno mi sa dire se va bene, grazie):
Se mostriamo che la successione di funzioni $s_k(x)=\sum_{n=1}^{k}f_n(x)$ verifica le ipotesi del teorema di convergenza monotona di Beppo Levi allora vale che $\sum_{n=1}^{+infty}\int_Af_n(x)d\mu=lim_(k->+infty)\sum_{n=1}^{k}\int_Af_n(x)d\mu=lim_(k->+infty)\int_A\sum_{n=1}^{k}f_n(x)d\mu=\int_Alim_(k->+infty)\sum_{n=1}^{k}f_n(x)d\mu=\int_A\sum_{n=1}^{+infty}f_n(x)d\mu$.
Abbiamo che $s_k(x)$ è non negativa e misurabile su $A$ poichè somma di funzione non negative e misurabili su $A$. Inoltre si ha che $s_(n+1)(x)-s_n(x)=f_(n+1)(x)>=0$ per cui $s_(n+1)(x)>=s_n(x)$ e quindi la successione di funzioni $s_k(x)$ è crescente, perciò $s_k(x) soddisfa tutte le ipotesi del teorema di convergenza monotona di Beppo Levi.