Esercizio Derivata Distribuzionale
Inviato: 06/02/2024, 03:51
Ciao a tutti,
ho un esercizio che non riesco a risolvere:
"Si consideri il segnale $ x(t) = 1_([t, t+1] $ $ (a) + u(t)*e^(-t) $
per quale valore di $ a $ il segnale $ x'(t) $ (nel senso delle distribuzioni) contiene esattamente una Delta di Dirac?"
Ora la soluzione è $ a = 0 $ ma mi blocco quando faccio la derivata. Il mio procedimento è utilizzare la formula generale $ x'(t) = x^d + sum_(k = 1) [[ x]]_(t_k)delta(t-t_k) $ .
Per quanto riguarda la funzione caratteristica non saprei assolutamente come manipolarla, quindi vorrei che me la spiegaste. Capisco come funziona in generale, guardando su Wikipedia ad esempio, ma nel caso specifico non saprei. L'insieme $ t, t+1 $ e il parametro $ a $ non saprei come gestirli.
Per quanto riguarda il secondo addendo:
$ (u(t)*e^(-t))' rarr $ salti: $ { ( t_1=0 ),( [[x]]_0 = 1 ):} $
quindi: $ x'(t) = -u(t)*e^(-t) + 1*delta(t-0) = -u(t)*e^(-t) + delta(t)$
Ad intuito direi che se il parametro $ a=0 $ allora la funzione caratteristica non è presente pertanto rimane solo $ -u(t)*e^(-t) + delta(t) $ che possiede esattamente una Delta di Dirac. Però ripeto che la funzione caratteristica non so proprio come gestirla. Il parametro ad esempio non so che effetti abbia sulla funzione caratteristica in quanto non la capisco.
Grazie in anticipo a chi mi darà una mano!
ho un esercizio che non riesco a risolvere:
"Si consideri il segnale $ x(t) = 1_([t, t+1] $ $ (a) + u(t)*e^(-t) $
per quale valore di $ a $ il segnale $ x'(t) $ (nel senso delle distribuzioni) contiene esattamente una Delta di Dirac?"
Ora la soluzione è $ a = 0 $ ma mi blocco quando faccio la derivata. Il mio procedimento è utilizzare la formula generale $ x'(t) = x^d + sum_(k = 1) [[ x]]_(t_k)delta(t-t_k) $ .
Per quanto riguarda la funzione caratteristica non saprei assolutamente come manipolarla, quindi vorrei che me la spiegaste. Capisco come funziona in generale, guardando su Wikipedia ad esempio, ma nel caso specifico non saprei. L'insieme $ t, t+1 $ e il parametro $ a $ non saprei come gestirli.
Per quanto riguarda il secondo addendo:
$ (u(t)*e^(-t))' rarr $ salti: $ { ( t_1=0 ),( [[x]]_0 = 1 ):} $
quindi: $ x'(t) = -u(t)*e^(-t) + 1*delta(t-0) = -u(t)*e^(-t) + delta(t)$
Ad intuito direi che se il parametro $ a=0 $ allora la funzione caratteristica non è presente pertanto rimane solo $ -u(t)*e^(-t) + delta(t) $ che possiede esattamente una Delta di Dirac. Però ripeto che la funzione caratteristica non so proprio come gestirla. Il parametro ad esempio non so che effetti abbia sulla funzione caratteristica in quanto non la capisco.
Grazie in anticipo a chi mi darà una mano!