$S^2$ con le due proiezioni stereografiche è una superficie riemanniana
Inviato: 25/02/2024, 15:08
Consideriamo $S^2$ con le due proiezioni stereografiche rispettivamente togliendo il polo nord e il polo sud, trovare la funzione di incollamento che si ottiene attraverso la definizione di superficie riemanniana con le due carte date dalle due proiezioni.
Chiamiamo $\varphi_1$ la proiezione stereografica da $S^2\\{N}$ a $\mathbb{C}$ e $\varphi_2$ la proiezione stereografica da $S^2\\{S}$ a $\mathbb{C}$, abbimao che la mappa di incollamento è definita da $(\varphi_1)^-1 \circ \varphi_2 :\mathbb{C^*->C^*}$, ma allora preso $z=x+iy \in C^*$, ricordando che $(\varphi_1)^-1(x,y)=(\frac{2x}{1+x^2+y^2},\frac{2y}{1+x^2+y^2},\frac{-1+x^2+y^2}{1+x^2+y^2})$ e $\varphi_2(x,y,z)=(\frac{x}{z+1},\frac{y}{z+1})$ si ha $(\varphi_1)^-1 \circ \varphi_2 (z)=(\frac{x}{x^2+y^2},\frac{x}{x^2+y^2})=\frac{z}{|z|^2}=1/ \bar z$. MA da come ho visto in altre parti il risultato dovrebbe essere $1/z$, cos è sbagliato?"
Chiamiamo $\varphi_1$ la proiezione stereografica da $S^2\\{N}$ a $\mathbb{C}$ e $\varphi_2$ la proiezione stereografica da $S^2\\{S}$ a $\mathbb{C}$, abbimao che la mappa di incollamento è definita da $(\varphi_1)^-1 \circ \varphi_2 :\mathbb{C^*->C^*}$, ma allora preso $z=x+iy \in C^*$, ricordando che $(\varphi_1)^-1(x,y)=(\frac{2x}{1+x^2+y^2},\frac{2y}{1+x^2+y^2},\frac{-1+x^2+y^2}{1+x^2+y^2})$ e $\varphi_2(x,y,z)=(\frac{x}{z+1},\frac{y}{z+1})$ si ha $(\varphi_1)^-1 \circ \varphi_2 (z)=(\frac{x}{x^2+y^2},\frac{x}{x^2+y^2})=\frac{z}{|z|^2}=1/ \bar z$. MA da come ho visto in altre parti il risultato dovrebbe essere $1/z$, cos è sbagliato?"