Funzione generatrice di momenti

[Bartolomeo]

Data la funzione densità di probabilità $f(x) = Kxe^(-2x)$ con $x>0$ e K costante, determinare la funzione generatrice di momenti $M_x(t)$, la media e la varianza....

Ho un dubbio solo sulla funzione generatrice di momenti;


Intanto mi trovo K
$K : K * int_0^(+oo) xe^(-2x)dx = 1$

facendo i calcoli $K= 4$.....

Per trovare la funzione generatrice di momenti faccio come segue:
$M_x(t) = int_(-oo)^(+oo)e^(tx)f_X(x)dt = int_(-oo)^(+oo)4e^(tx)*xe^(-2x)dt = 4xe^(-2x)*int_(-oo)^(+oo)e^(tx)dt = 4e^((t-2)x)$

corretto?

grazie

[luca.barletta]

K è corretta,
ma $M_x(t)=int_0^(+infty) e^(tx)f_X(x) dx$

[Bartolomeo]

K è corretta,
ma $M_x(t)=int_0^(+infty) e^(tx)f_X(x) dx$

quindi la funzione generatrice di momenti deve essere calcolata nello stesso intervallo della funzione... giusto?

[luca.barletta]

giusto

[Bartolomeo]

grazie mille

[Bartolomeo]

beh devo aver fatto qualche errore

$M_x(t) = int_0^(+oo)4e^(tx)*xe^(-2x)dt = $

$= 4xe^(-2x) *int_0^(+oo)e^(tx)dt=$

$= 4xe^(-2x)*[1/xe^(tx)]_0^(+oo) = $

non riesco a continuarew... mi sa che c'è qualcosa che non va...

[luca.barletta]

dx, non dt

[Bartolomeo]

ma la funzione non è $M_x(t)$ ???? non è calcolata in funione di t?

[luca.barletta]

appunto, M è una funzione di t, quindi l'integrazione va fatta rispetto a x

[Bartolomeo]

boh... ma se è rispetto a t la funzione generatrice di momenti, x non viene considerata costante?