Ancora sull'unicità delle soluzioni di eq.differenziali

[dissonance]

Propongo un esercizio che mi dà qualche difficoltà:
determinare tutte le soluzioni della $y'=2tsqrt(1-y^2)$.
E' chiaro che le funzioni costanti $y=+-1$ sono soluzioni. Separando le variabili inoltre si ottiene la famiglia $y_k(x)=sin(t^2+k), k\inRR$ (k indica una costante). Ce ne sono altre? Lungo le rette {$y=+-1$} non vale nessun teorema di unicità (sono punti di frontiera) e difatti le soluzioni costanti e quelle in $sin$ si intersecano allegramente, pur essendo distinte. Come procedere? grazie!

[dissonance]

Allego un grafico: il campo di pendenze dell'equazione per $t\in[-5,5]$ in rosso, il grafico di $y=sin(t^2)$ in nero. Quello che mi sfugge è se le funzioni ottenute "incollando" archi di sinusoide e rette $y=1, y=-1$ possano essere ulteriori soluzioni o meno. Mi riferisco all'altro topic, relativo a $y'=sqrt(|y|)$, dove succedeva proprio qualcosa del genere.

[ViciousGoblin]

Rispondo a intuito, senza aver letto i calcoli. Secondo me, a destra di zero, solo i tratti "ascendenti" dei seni sono soluzioni valide - questo
perché la derivata deve essere positiva (a sinistra di zero il comportamento si inverte). Arrivati a 1 i seni si incollano alla costante e non si staccano più.
Il fatto che si incollino lo vedi osservando che dove il seno fa uno la sua derivata è zero e quindi proseguendo con la costante ottieni una funzione $C^1$.
Stesso discorso all'indietro, se arrivi all'ordinata $-1$, in un'ascissa positiva, lì ti incolli a $-1$ per le ascisse più piccole.
In questo modo le soluzioni che partono da $(x_0,y_0)$, con $-1<y_0<1$ sono uniche in grande (almeno su $x>0$, non ho pensato bene a cosa succede
passando per zero). Se parti da $(x_0,-1)$ hai infinite soluzioni, dovendo tu decidere il momento $x_1\geq x_0$ in cui ti stacchi da $-1$ -- una volta che
ti sei staccato da $-1$ la soluzione è unica per tutti gli $x>x_1$.
Se parti da $(x_0,1)$ non hai unicità all'indietro (ripetendo all'indietro, almeno fono a $x=0$, i discorsi sopra).

Ho scritto , un po' in fretta, dei discorsi qualitativi che spero ti siano utili(e che spero non contengano errori).

[Fioravante Patrone]

@ViciousGoblinEnters
Mi sembrano qualitativamente convincenti

[dissonance]

Il discorso è perfettamente convincente.
Il fatto è che ho preso l'esercizio da un libro, il Salsa-Pagani 1998, Analisi matematica II, pag. 229.
Cito:

Sia data l'equazione $y'=2tsqrt(1-y^2)$.
Le due rette $y=+-1$ sono soluzioni. Le altre sono date dalla formula
$int\frac{1}{sqrt(1-y^2)}\ dy =2intt\ dt+c$
ossia
$y=sin(t^2+c)$. (**)
Si noti che le rette $y=+-1$ costituiscono l'inviluppo della famiglia (**) come è facile verificare. Inoltre esse costituiscono la frontiera dell'insieme di definizione di $f(t,y)=2tsqrt(1-y^2)$ e pertanto non rientrano nella teoria ecc... (si riferisce ai teoremi di esistenza e unicità)

Ma questo è un errore, visto che come faceva notare V.G.E. le soluzioni devono essere crescenti per $t>0$ e decrescenti per $t<0$?




P.S:Se questo fosse un errore, il colpevole sarebbe il metodo orang-utang?

Dico questo perché a quella soluzione si arriva dividendo brutalmente per $sqrt(1-y^2)$, senza tenere presente che deve essere $y!=+-1$. Si arriva a $arcsin(y(t))=t^2+c$, ma questo deve essere vero in un intervallo aperto t.c. $arcsin(y(t))$ non raggiunge massimo e minimo $+-pi/2$. Quindi quando invertiamo per arrivare a $y(t)=sin(t^2+c)$, questo sarà vero per $t^2+c!=pi/2+kpi$. Ovvero, la soluzione trovata è solo un arco di sinusoide, non tutta una sinusoide. Questa poi si raccorda in maniera liscia con le costanti, e non può cambiare la monotonia. Il resto segue come diceva V.G.E.: le soluzioni sono tutte di tipo: una retta, oppure una semiretta, un arco di sinusoide, un'altra semiretta. (a parte in un intorno di $t=0$ dove può esserci un cambio di monotonia).

(edit)tolto un "crescente" di troppo.

[Fioravante Patrone]

Certo, è un errore.

Probabilmente indotto da una risoluzione dell'integrale fatta senza tenere conto delle condizioni imposte dalla equazione differenziale che si sta risolvendo.

Questi sono i rischi del metodo urang-utang©

[dissonance]

Si, abbiamo scritto contemporaneamente...
Strano però, mi sembrava un libro così ben fatto...

[Fioravante Patrone]

Ho capito, io rispondevo alle prime righe del tuo post, senza sapere che avresti menzionato la scimmietta nel tuo P.S.

Quanto al Pagani - Salsa, non lo conosco. Ma un errore può ben capitare(*). Soprattutto se ci sono mucchi di esercizi.

Certo, la disciplina che impone la risoluzione corretta di una equazione a variabili separabili magari dà qualche chance in più di evitare questo tipo di errori.
E le cose che dici nel tuo P.S. sono ok.


(*) Vedi, per una conferma "osservativa":
https://www.matematicamente.it/forum/log ... tml#234421

[dissonance]

Morale della favola: fare sempre attenzione a separare le variabili. E' davvero facilissimo fare clamorosi errori, specialmente se non valgono teoremi di esistenza e unicità.

Grazie mille a F.Patrone e a V.G.E. : mi avete salvato da una probabile raffica di strafalcioni!

[funny hill]

scusate, ma per tagliare la testa al toro, qualcuno potrebbe dimostrare che $ sin(t^2 + k) $ preso in un intorno lontano dalla x in cui vale (per la prima volta) $1$ non soddisfa l'equazione?
così potremmo finalmente trovare una falla del metodo u.u.!!