teorema del punto fisso di Brouwer

[qwertyuio]

La dimostrazione del teorema del punto fisso di Brouwer (una funzione continua dal disco chiuso di R2 in sè ha un punto fisso) ci è stata fatta così:
Per assurdo supponiamo f(x,y) diverso da (x,y) per ogni (x,y) del disco. Allora tracciamo la semiretta (unica!) uscente da f(x,y) e passante per (x,y) e chiamiamo F(x,y) la sua intersezione con la circonferenza. E poi la dimostrazione procede dando per scontato che F è continua.

Come posso fare per dimostare che F è continua?
Ho provato a ricavarmi la sua espressione analitica, mettendo a sistema la semiretta (scritta in forma parametrica come (X,Y)= f(x,y) + t ((x,y)-f(x,y)) con t>=0) e la criconferenza (X^2+Y^2=1) e cercando di ricavare t. Ma viene fuori un'equazione di secondo grado non proprio bella... e poi una volta risolta (dal computer) non so dire quale delle due soluzioni è quella positiva (t dev'essere positivo perché sto parlando di una semiretta e non di una retta intera).
C'è un altro modo per scriversi esplicitamente F(x,y)? O per lo meno per dimostare che è continua?

Grazie a tutti!

[Fioravante Patrone]

Secondo me la strada che hai seguito tu va bene.

E forse ti manca solo un po' di ottimismo, come dice il nostro "papi" Silvio.
Prova a postare qui quello che trovi (equazione e soluzioni), che magari trovi un viandante disposto ad appoggiare il suo lume vicino al tuo post, acciocché si illumini vieppiù.


E, riguardo a Brouwer, vedo che nel titolo lo spelling è ok, ma non nel testo, a conferma di quanto affermavo qui: https://www.matematicamente.it/forum/fil ... html#87469
https://www.matematicamente.it/forum/teo ... tml#158262

PS: visto che hai corretto brower nel testo, mi è sembrato carino fare un passo in più e mettere l'iniziale maiuscola, visto che è un nome proprio.

[qwertyuio]

Quando (x,y) tende a (x°,y°), f(x,y) tende a f(x°,y°) (f continua), allora la semiretta s uscente da f(x,y) e passante per (x,y) tende punto per punto alla semiretta s° uscente da f(x°,y°) e passante per (x°,y°) (si verifica subito scrivendo l'equazione della semiretta).

Posso concludere che l'intersezione tra la semiretta s e la circonferenza tende all'intersezione tra la semiretta s° e la circonferenza (cioè F(x,y) tende a F(x°,y°)), anche senza scrivere esplicitamente l'espressione analitica della F?

Anche perché se invece della circonferenza avessi a che fare con un'altra curva chiusa, magari con un'espressione di grado più alto o non polinomiale, non riuscirei certo a scrivere esplicitamente la F, però affermerei comunque che F è continua.
So che il mio ragionamento è di tipo intuitivo, ma non si potrebbe formalizzare, utilizzando magari il fatto che la circonferenza è una curva chiusa?

[Fioravante Patrone]

Posso concludere che l'intersezione tra la semiretta s e la circonferenza tende all'intersezione tra la semiretta s° e la circonferenza (cioè F(x,y) tende a F(x°,y°)), anche senza scrivere esplicitamente l'espressione analitica della F?
...
So che il mio ragionamento è di tipo intuitivo, ma non si potrebbe formalizzare, utilizzando magari il fatto che la circonferenza è una curva chiusa?

Ma infatti, il punto è trovare una giustificazione di queste affermazioni. Dalla formuletta immagino le avresti.
Qui mi pare che non trovi di meglio che affidarti all'intuizione (ma il teorema di Brouwer non è intuitivo?).
Secondo me con considerazioni abbastanza standard si dovrebbe arrivare a dove vuoi tu. E' che sostanzialmente serve una stima su quanto varia l'intersezione al variare dei parametri del problema.

[qwertyuio]

Ok, allora posto quello che ho fatto.

Il sistema in X,Y che vado a considerare è:
${(X=f_1+t(x-f_1)),(Y=f_2+t(y-f_2)),(t>=0),(X^2+Y^2=1),(x^2+y^2<=1),(f_1^2+f_2^2<=1):}$
dove (f_1,f_2):=f(x,y)
Le prime 3 equazioni indicano che (X,Y) sta sulla semiretta uscente da f(x,y) e passante per (x,y).
La quarta che (X,Y) sta sulla circonferenza.
Le ultime 2 che (x,y) e f(x,y) stanno nel disco (non so se queste due condizioni sono utili, può darsi di no).

Sostituendo la 1 e la 2 nella 4 ottengo un'equazione di secondo grado nella t. Mathematica mi dice che le due soluzioni sono:
$(f_1^2 + f_2^2 - f_1*x - f_2*y - \sqrt(f_1^2 + f_2^2 - 2*f_1*x + x^2 - f_2^2*x^2 - 2 f_2*y + 2*f_1*f_2*x*y + y^2 - f_1^2+y^2)) / (f_1^2 + f_2^2 - 2*f_1*x + x^2 - 2*f_2*y + y^2)$
(l'altra ha il + invece del - prima della radice)

Ora dovrei:
1)capire perché il numero sotto radice è >=0
2)trovare quale delle due soluzioni è positiva (magari varia al variare di (x,y) e f(x,y)). Poi la andrò a sostituire nella 1 e nella 2 scoprendo finalmente chi è F(x,y)

[Fioravante Patrone]

Ora dovrei:
1)capire perché il numero sotto radice è >=0
2)trovare quale delle due soluzioni è positiva (magari varia al variare di (x,y) e f(x,y)). Poi la andrò a sostituire nella 1 e nella 2 scoprendo finalmente chi è F(x,y)

Fossi al tuo posto, cercherei risposta alle due domande traendo ispirazione dalla considerazione di alcuni casi particolari. Particolari per la posizione dei punti, ad esempio. O per i valori dei parametri.
Mi farei magari anche due disegnini, sempre in riferimento a casi particolari.