La dimostrazione del teorema del punto fisso di Brouwer (una funzione continua dal disco chiuso di R2 in sè ha un punto fisso) ci è stata fatta così:
Per assurdo supponiamo f(x,y) diverso da (x,y) per ogni (x,y) del disco. Allora tracciamo la semiretta (unica!) uscente da f(x,y) e passante per (x,y) e chiamiamo F(x,y) la sua intersezione con la circonferenza. E poi la dimostrazione procede dando per scontato che F è continua.
Come posso fare per dimostare che F è continua?
Ho provato a ricavarmi la sua espressione analitica, mettendo a sistema la semiretta (scritta in forma parametrica come (X,Y)= f(x,y) + t ((x,y)-f(x,y)) con t>=0) e la criconferenza (X^2+Y^2=1) e cercando di ricavare t. Ma viene fuori un'equazione di secondo grado non proprio bella... e poi una volta risolta (dal computer) non so dire quale delle due soluzioni è quella positiva (t dev'essere positivo perché sto parlando di una semiretta e non di una retta intera).
C'è un altro modo per scriversi esplicitamente F(x,y)? O per lo meno per dimostare che è continua?
Grazie a tutti!