da Piera » 20/09/2005, 17:38
se un insieme ha n elementi, l’insieme della parti , cioè l’insieme di
tutti i sottoinsiemi ha 2^n elementi
1) quante relazioni si possono costruire
una relazione è per definizione un sottoinsieme dell’insieme AxA
ora, il prodotto cartesiano ha 4*4=16 coppie, quindi le relazioni sono
2^16
2)quante sono riflessive
traccia su un sistema cartesiano le 16 coppie,
una relazione per essere riflessiva deve avere TUTTE le coppie sulla
diagonale, (1,1) (2,2), (3,3) (4,4)
ad esempio R: (2,1) (4,2) (1,1) (2,2), (3,3) (4,4) è riflessiva
per costruire una relazione riflessiva le coppie (1,1) (2,2), (3,3) (4,4)
ci devono essere sempre, poi posso aggiungere a mio piacere altre coppie tra quelle
rimanenti che sono 16 – 4 = 12, allora i modi in cui posso aggiungere le 12 coppie rimanenti
sono tanti quanti i sottoinsiemi da un insieme di 12 elementi cioè 2^12
quindi le relazioni riflessive sono 2^12
3) quante sono simmetriche
per essere simmetrica occorre che se , ad esempio, c’è la coppia (1,2) ci deve essere
anche la coppia (2,1)
ad esempio R: (1,1) (1,2) (2,1) è simmetrica, questo significa che per costruire una relazione simmetrica si possono considerare tutte le coppie simmetriche tipo (1,2) e (2,1) come un unico elemento, quindi per costruire queste relazioni utilizzo le coppie sulla diagonale
(1,1) (2,2), (3,3) (4,4) che sono 4 e le coppie simmetriche prese come un solo elemento
che sono in tutto quante le coppie che stanno sotto la diagonale (oppure sopra tanto il numero è lo stesso),in totale posso utilizzare 4 + 6 =10 coppie formando 2^10 relazioni simmetriche
4) riflessive e simmetriche
se nel ragionamento fatto sopra la relazione deve essere anche riflessiva, le 4 coppie sulla diagonale
ci devono essere SEMPRE, quindi posso usare 10 – 4 = 6 coppie
adesso le relazioni sono 2^6
i punti 5) e 6) li tralascio perché sono più difficili
visto che sicuramente non sono stato molto chiaro, ti dò le seguenti
formule:
sia A un insieme di n elementi e si consideri AxA, allora
1) 2^(n^2) sono le relazioni che si possono costruire
2) 2^(n^2-n) sono quelle riflessive
3) 2^[(n^2+n)/2] sono simmetriche
4) 2^[(n^2-n)/2] sono riflessive e simmetriche
TI RISPONDO DA QUI PERCHé TU POSSA TENERE PRESENTE LE FORMULE SCRITTE SOPRA CHE NON ME LE SONO INVENTATE MA CHE SONO BEN NOTE IN LETTERATURA
ADESSO CERCO DI SPIEGARTI IL PUNTO 1)QUANTE RELAZIONI SI POSSONO DEFINIRE
una relazione è per definizione un sottoinsieme di AxA
se |A|=4 , cioè se A ha 4 elementi, il prodotto cartesiano ne ha 16 e fin qui non ci sono dubbi
dalla definizione segue posso costruire una relazione con una sola coppia
oppure con due coppie
oppure con tre coppie
....
oppure con nessuna coppia
oppure con tutte le coppie
è abbastanza intuitivo che ne posso costruire tantissime
ti invito a provare a costruire alcune relazioni che hanno esattamente 3 coppie
comunque io affronterei questi problemi di carattere combinatorio
(tengo a precisare che sono cose difficili per chiunque)
solo in un corso di matematica discreta o di combinatoria se mai lo farai, adesso ti conviene solo capire le definizioni magari prova a ragionare solo con A=2 elementi e vedere che le relazioni sono in tutto 2^4=16