da ralf86 » 13/12/2009, 11:53
Puoi provare a espandere il numeratore in serie di Taylor fino al 4 ordine intorno a x=0.
Lo sviluppo di Taylor è utilissimo per calcolare i limiti, anzi forse è la cosa più utile per i limiti, perchè in pratica riconduce qualsiasi limite, anche di funzioni complicate, al caso di limiti tra polinomi, che è facile! L'unica piccola difficoltà è capire fino a che ordine sviluppare le varie funzioni, più che altro per evitare di dover fare lunghi calcoli per trovare termini dello sviluppo che in realtà si rivelano inutili per calcolare il limite
Perchè fino al quarto ordine?
Io ragiono così: sia questa radice che il coseno ti danno solo temini di taylor con esponente pari (sono infatti funzioni pari). In questo caso sviluppare sia la radice che il coseno fino all'ordine "zero" non basta e nemmeno fino all'ordine 2 perchè in entrambi i casi i termini degli sviluppi si semplificherebbero e ti rimarrebbero solo degli o piccoli al numeratore (oppure O grandi a seconda dell'accuratezza con cui scrivi il resto dello sviluppo). (*)
Questo permette già di dire "a occhio" che il limite esiste finito. Più precisamente sarà uguale a zero se e solo se anche i termini di ordine 4 si semplificano (non mi sembra questo il caso)
(*) Sviluppare in ordini diversi (ad es. fino al 2 per il coseno e fino al 4 per la radice) non ti aiuta perchè per x che tende a zero gli $x^4$ sono trascurabili rispetto agli $x^2$. In generale quindi non aiuta se devi sviluppare 2 funzioni che si sommano tra loro.
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ralf86 il 13/12/2009, 12:23, modificato 2 volte in totale.