disequazione goniomentrica impossibile

[Nausicaa91]

$1-2cos(x)-2cos^2(x)+2sin(x)+2cos(x)sin(x)+2sin^2(x)>0$
non riesco a trasformarla per risolverla... ci sto da ore
qualcuno saprebbe darmi un suggerimento?

[giammaria]

Non vedo nessuna strada, a meno di cambiare almeno un segno. Il tuo libro non dà la soluzione? Se sì, prova a prenderne una e sostituirla nel testo; probabilmente troverai che c'è un errore. Se non trovi errori ma hai le soluzioni, postale: possono essere uno spunto.

[Nausicaa91]

no, non da nulla... ma era la derivata seconda di questa traccia, che è sicuramente giusta:
$(1-cos(x)+sin(x))/(sin(x)+cos(x))^2

[blackbishop13]

mah, un'idea può essere usare le formule di duplicazione:
$cos^2(x)-sin^2(x)=cos(2x)$ e $2sin(x)*cos(x=sin(2x)$.

però non è che ti portino lontano. guarda che non è detto che una derivata seconda sia facilmente risolvibile.
sempre ammesso che sia giusta.

[giammaria]

La tua forrmula iniziale diventa più semplice con una traslazione di $pi/4$ verso destra o sinistra, ma anche così la ricerca dei flessi non dà equazioni facili. La vera risposta te l'ha già data blackbishop13; in generale la ricerca dei flessi si fa solo se è ragionevolmente semplice o se la loro conoscenza è importante per qualche scopo diverso dal solo disegno.

[adaBTTLS]

non so se può servire a qualcosa, non so se ho sbagliato, ma svolgendo rapidamente qualche calcolo, la derivata seconda della funzione che hai postato mi pare venga così:

$(3cos^3x-3sin^3x+27sinxcos^2x-27sin^2xcosx-16sinxcosx+4cos^2x+4sin^2x)/(sinx+cosx)^4$

e non mi pare che il risultato porti all'esame della stessa disequazione.

[Nausicaa91]

io ho semplificato il denominatore con il numeratore... infatti sotto mi veniva
$(sin(x)+cos(x))^3$
perchè
facendo derivata del num. per il den. non derivato viene
$(sinx+cosx)^3$ MENO
la derivata del denominatore per la non derivata del numeratore.
$2(sinx+cosx)(-sinx+cosx)(1-cosx+sinx)$

ho semplificato $(sinx+cosx)$

e quindi il numeratore viene
$(sinx+cosx)^2-2(-sinx+cosx)(1-cosx+sinx)$

svolgendo
$sin^2x+cos^2x+2sinxcosx-2(-sinx+sinxcosx-sin^2x+cosx-cos^2x+cosxsinx)$
$1+2sinx^2+2sinx+2cos^2x-2cosx$
$2+2sinx-2cosx$

ops... mi sono appena accorta di aver commesso un errore di segno XD

[adaBTTLS]

dunque parli della derivata prima, e non della derivata seconda ...
se non sbaglio a copiare dal foglietto, a me veniva così:

$(6sinxcosx-sin^2x-cos^2x-2sinx+2cosx)/(sinx+cosx)^3$, ma credo di avere sbagliato un segno.
correggendo, dovrebbe venire come a te (almeno il secondo passaggio coincide):

$(3sin^2x+3cos^2x-2sinxcosx+sinx-cosx)/(sinx+cosx)^3$

ricontrolla, e casomai riprovo a correggere la derivata seconda...

[Aliseo]

Bah ... data la funzione \( \displaystyle f(x) = \displaystyle\frac{1-\cos(x) + \sin(x)}{\left[ \sin(x) + \cos(x) \right]^2} \) mi esce

\( \displaystyle f'(x) = \displaystyle\frac{2\cos^3(x) - 4 \cos^2(x) + \cos(x) + 2\sin^3(x) + 2}{\left[ \sin(x) + \cos(x) \right]^4} \)
e

\( \displaystyle f''(x) = \displaystyle\frac{2\cos^3(x) \cdot \left( \sin(x) + 4 \right)-22\cos^2(x)-2\sin^3(x)\cos(x) + 8\sin^3(x) + 11}{\left[ \sin(x) + \cos(x) \right]^5} \)

[giammaria]

Aliseo, prima di fare i prodottii per f '(x) avresti dovuto semplificare dividendo numeratore e denominatore per (senx+cosx). Per f" hai semplificato!
La derivata prima scritta da adaBTTLs ha proprio il cambiamento di un segno da me desiderato. Il numeratore può infatti essere scritto nella forma $2+ (senx-cosx)^2+(senx-cosx)$ e si verifica subito che è sempre positivo.