Il quesito è interessante, mi ero già posto un problema simile e credo che si possa dire questo:
abbiamo un campione con $n$ variabili casuali ognuna con media $mu$ e varianza $sigma^2$ che sono ignote e devono essere stimate. Come fare?
Bisogna prestare la massima attenzione al fatto che noi ipotizziamo un campionamento casuale semplice e quindi i valori estratti sono v.a. $iid$ su cui non è necessario conoscere la specifica distribuzione.
Adesso dobbiamo trovare gli stimatori, e per definizione lo stimatore sarà una v.a. perchè frutto di un campionamento casuale semplice, ne consegue che sia lo stimatore della media vera $mu$ che quello della varianza vera $sigma^2$ avranno a loro volta una distribuzione di prob. e quindi una media ed una varianza. Per intenderci esiste la varianza della media stimata, che è quella che hai scritto, ma anche la varianza della varianza stimata!!! (anche se spesso non la considera nessuno).
Dopodiché le proprietà che vengono richieste agli stimatori sono: non distorsione, consistenza ed efficenza (quest'ultima rispetto ad altri stimatori); dove se si lavora con campioni grandi sulla non distorsione si può soprassedere ciò che conta, e qui attenzione, è la consistenza. Bene quella $n$ al denominatore della formula che hai scritto dimosta la consistenza dello stimatore della media campionaria rispetto al parametro di popolazione $mu$. Quella ottenuta è una stima quindi DEVE avere varianza>0 se n<infinito.
Dopodiché se non conosci neppure $sigma^2$ ti devi stimare anche quella, altra variabile casuale.....
Penso proprio che tutta questa roba perda di significato se perdiamo di vista l'ottica del campionamento casuale da una popolazione con parametri veri finiti ed ignoti. Se esistono quattro dati e basta non ha senso applicare quanto sopra, se esistono quattro possibili risultati ma in una popolazione numerosa e campionabile in senso proprio tutto torna ad avere senso