Serie e numeri primi.

Messaggioda Woody » 20/07/2005, 20:13

Salve! Vi propongo il seguente quesito: stabilire il carattere della serie degli 1/p al variare di p nell’insieme dei primi positivi.
Saluti, Woody.


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Messaggioda karl » 23/07/2005, 16:04

La somma dei reciproci dei primi positivi diverge.Di tale
affermazioni esistono varie dimostrazioni ,tutte abbastanza lunghe
e complesse (almeno che io sappia).
Si puo' dimostrare(ma personalmente non conosco i dettagli)che,
se p e' il generico primo positivo,allora per ogni assegnato x>2 vale la relazione:
[1]Sum[p=2..x]1/p=ln(lnx)+B1+ quantita' che tendono a zero al crescere di x
dove B1 e' la costante di Mertens =0.26149772128... [legata alla
costante gamma di Eulero-Mascheroni ,a sua volta legata alla funzione zita di Riemann].
Se nella [1] facciamo tendere x all'infinito si ha l'asserto.
Ciao.
karl
 

Messaggioda Piera » 23/07/2005, 17:20

una dimostrazione la si può trovare a pagina 1 e 2 di
http://cesare.dsi.uniroma1.it/~logica/99C-Euler.pdf
Piera
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Messaggioda Woody » 24/07/2005, 19:18

Ho trovato da me una dimostrazione diversa da quelle proposte nel sito indicato da Piera, che fa però uso del Teorema sui numeri primi, e ha il difetto di supporre che esista sempre un numero primo fra n e 2*n , per ogni n naturale. Il Teo dei num. primi afferma che: se:
pi(n) = #(numeri primi minori o uguali a n) , allora vale:
lim pi(n)*log(n)/n = 1 .
n->inf
Sia p_k successione tale che:
p_1 = 2;
p_(n+1) = min(p primi: p > p_n) per ogni n naturale.
La serie dei reciproci dei primi può così essere scritta come:
serie(1/p_k,k=1..inf).
Oss: pi(p_k)=k per ogni k naturale. Segue dal Teo precedente:
k*log(p_k)/p_k -> 1 dunque p_k è asintotico a k*log(p_k) . Poichè esiste sempre un primo fra n e 2*n, risulta:
p_k <= 2^k per ogni k naturale. Segue che:
k*log(p_k) <= log(2)*k^2 per ogni k naturale; dunque esiste M reale tale che:
p_k <= M*k^2 . Segue che:
1/(k*log(p_k)) >= 1/(2*k*log(M*k)) per ogni k naturale. Poichè la serie associata a 1/(2*k*log(M*k)) diverge, si deduce per confronto che anche la serie associata a 1/(k*log(p_k)) diverge e quindi, per confronto asintotico, la serie dei 1/p_k diverge. cvd.
Ho fatto errori? Se ne trovate, segnalatemeli. Vi ringrazio per il vostro aiuto. Ciao!

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