Bingo! Problema che sembra semplice

[markowitz]

Vorrei presentarvi un problema che sembra semplice ma in realtà è difficile. Però prima permettetemi
una piccola introduzione.
Il tutto cominciò quando con dei miei amici andammo in una sala da bingo, a me il gioco annoiava ma altri erano
dei frequentatori abbastanza assidui. Io non giocavo ed ad un certo punto, durante l'estrazione, mi accorsi che
esisteva un premio che si chiamava "bingo oro" mi spiegarono che era un premio che similmente ad altri,
veniva potenzialmente assegnato solo in certe partite. Si vince se si fa bingo entro un certo numero di estrazioni
se ricordo bene $40$. In caso di vincita si prendevano dei bei soldi perché il montepremi saliva da tempo.

Uno dei miei amici, che sa che mi piacciono questi problemi, mi chiese di dirgli quale fosse secondo me
la probabilità di portarsi a casa il bingo oro.
Cominciai a pensare a quale fosse la risposta ma dopo poco mi resi conto che il problema era più spinoso di quello
che poteva sembrare.
Un metodo per partire è quello di semplificare il problema ai minimi termini e pensare che esista una sola cartella
venduta (per chi non lo sapesse fare bingo è come fare tombola e si hanno sempre $15$ numeri in cartella).
Il problema è un po datato, a quel tempo avevo meno strumenti, e non ricavai un ragno dal buco neppure con tale
impostazione semplificata (sottolineo che mi interessava e mi interessa solo una soluzione esatta e non un'approssimazione
per simulazione a computer che sapevo essere ottenibile).
Qualche giorno fa nel post "problema mazzo di carte" si è individuata la v.a. "ipergeometrica negativa"
v.a. abbastanza sconosciuta ma che fa al caso nostro.
la funzione di probabilità è questa:
$P(X=i)=(C(n,r-1)*C(m,i-r))/(C(n+m,i-1))*(n-r+1)/(n+m-i+1)$
dove $C(N,k)=(N!)/(k!*(N-k)!)$
nel nostro bingo:
$n=$i numeri della cartella che sono $15$
$m=$i numeri non della cartella ovvero i restanti $75$
$r=$ è il numero di chiamate "buone" che attendiamo per la nostra cartella, cioè per noi r= $15$
$i=$ possibili valori per la chiamate critica (cioè quella del bingo) vanno da $15$ a $90$ perché l'estrazione vincente
può essere una di quelle.
Quindi il problema semplificato è risolto, ad esempio la prob. che $i>68=99,3%$ ovvero c'è, quasi di certo,
da aspettare una bel po di estrazioni. Più di quelle che si penserebbe. Per il bingo oro buona notte.
Il problema in realtà si poteva risolvere anche con la ipergeometrica ma me ne sono accorto solo
adesso. Tra l'altro ho notato una cosa singolare, se $F()$ è la funzione di ripartizione della
v.a. ipergeometrica negativa e $f()$ è la funzione di densità di probabilità della ipergeometrica "associata"
abbiamo, se non prendo un granchio, che $F(i)=f(i)$.
Comunque tornando a noi se ragioniamo come giocatori singoli, ed abbiamo una sola cartella,
ci dobbiamo fermare qui. Tuttavia possiamo averne più di una e poi ciò che
inizialmente si chiedeva è anche interpretabile come la probabilità che "qualcuno" (fra tutti i giocatori) faccia bingo.
E' chiaro che se ci sono tante cartelle vendute le probabilità crescono per ogni valore di $i$. Ma come?
In una sola partita non esistono cartelle identiche e quelle possibili sono $C(90,15)=4,579*10^16$ un bel numerone!
ma la cosa brutta è che le intersezioni tra le cartelle (cioè i numeri comuni) variano da coppia a coppia
e noi abbiamo un numero diciamo $c$ di cartelle vendute che è un sottoinsieme di numerosità aleatoria
dell'insieme $C(90,15)$ che casino!!!
Da quello che mi hanno detto nella maggior parte dei casi il bingo arriva tra la $55$-esima e la $70$-esima estrazione
ma ho paura che una soluzione esatta al problema: Qual'è la probabilità che venga vinto il bingo oro?
o in generale venga vinto un bingo entro l'estrazione$i$-esima?
sia indeterminabile.
Siete d'accordo? o avete idee?

[markowitz]

Bé cavolo forse adesso non è difficile trovare una buona approssimazione:
se abbiamo $P(X=i)$ abbiamo anche che se ipotizziamo le cartelle come combinazioni indipendenti
$1-(1-P(X=i))^n$= probabilità che venga pagato il bingo all'estrazione $i$-esima se ci sono $n$ giocatori.
Tra l'altro è un'ottima approssimazione se consideriamo che $n$ è in realtà sempre molto minore
di quello che prima ho chiamato $c$.
Ma se intendo evitare tale semplificazione si può gestire il problema?

[DajeForte]

Allora vediamo un po' che si può fare.

Escludiamo la prima parte del problema che è abbastanza semplice.

Consideriamo di avere $n$ cartelle in gioco.
Allora io impotesterei la questione in questa maniera: fare bingo vuol dire che tra le $n$ cartelle ci sia quella vinciente, quindi il problema si costituisce in un modello ipergeometrico sulla scelta delle cartelle (supponiamo casuale) in relazione a tutte le cartelle $c$.

Se abbiamo tirato fuori $15<=k<=90$ numeri il numero delle cartelle che fino a $k$ sono vincenti è dato da $((k),(15))$ e lo chiamo con $cv(<=k)$ quindi queste sono le cartelle che hanno vinto a $15,16,...,k$.
Per avere il numero di cartelle che vincono esattamente a $k$ (che chiamo con $cv(=k)$) andiamo a sottrarre a $cv(<=k)$ $cv(<=k-1)$ ottenendo dunque $((k),(15))-((k-1),(15))$ (se $k=15$ il secondo lo prendiamo come $0$).
Introduciamo anche $cv(>k)$ che sono le cartelle che vincono dopo $k$ e sono $c-cv(<=k)$.

A questo punto dobbiamo considerare il numero $nv<=min{n\ ,\ cv(=k)}$ di cartelle che vinceranno alla $k$; questo perchè uno stesso numero può far vincere più cartelle (sai quante volte mi è capitato di fare tombolino con atri).

Abbiamo quindi tutti gli ingredienti per fare una multi-ipergeometrica (in questo caso a due dimensioni) connessa alla vittoria alla $k$:
$cv(=k)$ numero di palline successo;
$cv(>k)$ numero di palline insuccesso 1;
$c$ numero di palline;
$nv$ numero di vincitori;
$n-nv$ numero di perdenti.

Si ottiene cosi che la probabilità che la tombola venga fatta da $nv$ cartelle alla $k$ estrazione con $n$ cartelle in gioco è:

$(((cv(=k)),(nv))\ ((cv(>k)),(n-nv)))/( ((c),(n)))$.

Mi pare che sia sensato; a questo punto da questa struttura ti puoi divertire a calcolare quello che vuoi.

[markowitz]

Ciao DajeForte grazie per la risposta.
Il ragionamento che fai mi convince, o provato ad impostare un foglio Excel per i calcoli ma ho qualche problema se poi i conti non mi tornano ti faccio sapere.
Comunque bravo non avevo proprio pensato ad una riapplicazione dell'ipergeometrica. E complimenti anche per gli altri interventi spesso illuminanti che fai nel forum.

ho capito che sei un asso di probabilità ma suppongo tu lo sia di matematica in generale,
ed allora chiedo espressamente a te. Ho postato il 16 agosto una domanda sulla sezione di analisi matematica dal titolo "massimo vincolato, metodo di Lagrange" (che tra l'altro è un minimo vincolato). Nonostante la sezione sia la più frequentata nessuno mi ha ancora risposto magari tu sai dirmi qualcosa di utile.

[DajeForte]

Grazie mille dei complimenti, devi dire che mi piace molto fare queste cose ed anche le studio abbastanza.
Comunque si fai qualche prova sperimentale però stai attento che la i fattoriali sono molto grossi percui magari dovresti passare ai logaritmi.

Gli ho buttato un occhio al tuo problema, ti dico subito che quella non è molto zona mia, ma domani cerco di cavarne qualche ragno dal buco; poi magari pezzo per pezzo insieme ci riusciamo.
Ciao