Topologia prodotto: passaggio oscuro sul Sernesi

[Paolo90]

Leggo da Sernesi, Geometria 2, cap. 2 paragrafo 6 ("Prodotti").

Proposizione 6.4. Siano $X$ e $Y$ sono spazi topologici. La topologia prodotto $X times Y $ è la topologia meno fine per cui le proiezioni (sui fattori) sono continue.

Dimostrazione. Siano $T_1$ e $T_2$ le topologie su $X$ e su $Y$. Siano $p_1^-1(T_1)={p_1^-1(A)=A times Y, " " A in T_1}$ e $p_2^-1(T_2)={p_2^-1(A)=X times A, " " A in T_2}$.

Evidentemente la topologia meno fine che rende le $p$ continue è generata da $p^-1(T_1) uu p^-1(T_2)$ ed ha per base la famiglia di tutte le intersezioni finite di elementi di $p^-1(T_1) uu p^-1(T_2)$. Visto che $p^-1(T_1)$ e $p^-1(T_2)$ sono topologie, un'intersezione finita del tipo suddetto si riconduce all'intersezione di un elemento di $p^-1(T_1)$ con uno di $p^-1(T_2)$; quindi la topolgia generata da $p^-1(T_1) uu p^-1(T_2)$ ha per base
${(A_1 times X)nn(A_2 times Y)=A_1 times A_2}$ con $A_1 in T_1$ e $A_2 in T_2$
che coincide con la base della topologia prodotto.

Mi sono parecchio oscuri i passi che ho sottolineato. Anzitutto, credo di non aver capito che cosa si intende per topologia generata da una famiglia: io intendevo topologia che ha per base quella famiglia, ma evidentemente non è così. E perchè la topologia generata da $p^-1(T_1) uu p^-1(T_2)$ ha per base la famiglia di tutte le intersezioni finite di elementi di $p^-1(T_1) uu p^-1(T_2)$?

Grazie in anticipo.

[dissonance]

Paolo, ti consiglio vivamente di leggerti il paragrafo The Product Topology dal testo di Munkres (secondo capitolo). Lui introduce il concetto di sottobase, proprio il tassello che ti manca per capire a fondo la questione. Dopodiché il Sernesi sarà chiaro come il giorno.

Comunque, attenzione: se assegni una famiglia $ccB$ di parti di un insieme $X$, ha perfettamente senso parlare di topologia generata da $ccB$ come l'intersezione di tutte le topologie contenenti $ccB$, ma non è detto che $ccB$ ne sia una base e un esempio è emerso proprio ieri in questo topic.

Tuttavia, se $ccB$ è un ricoprimento di $X$, allora $ccB$ è una sottobase della topologia da essa generata. Per arrivare ad una base manca ancora qualche proprietà: devi aggiungere a $ccB$ tutte le intersezioni finite.

[Paolo90]

Guarda avevo visto il paragrafo di cui parli sul Munkres e avevo notato che parla di sottobase, concetto che io non conosco. Ora ho letto sul Sernesi e sul Munkres le righe dedicate alle sottobasi, ma non credo di aver capito bene.

Andiamo con ordine.

Comunque, attenzione: se assegni una famiglia $ccB$ di parti di un insieme $X$, ha perfettamente senso parlare di topologia generata da $ccB$ come l'intersezione di tutte le topologie contenenti $ccB$, ma non è detto che $ccB$ ne sia una base e un esempio è emerso proprio ieri in questo topic.

Sì, capisco, anche se non avevo mai sentito parlare di questa cosa. In sostanza, se io do una famiglia di insiemi, la topologia generata da detta famiglia è l'intersezione di tutte le topologie che la contengono: sì, ora ho capito.

Adesso, le sottobasi. Leggo che una sottobase $ccS$ è una famiglia di parti di $X$ che ricopre $X$. Ok fin qui?
La topologia generata da una sottobase è la famiglia costituita dalle unioni delle intersezioni finite di $ccS$.

Continuo a non capire: che cosa serve tutto sto giro? Perchè le sottobasi?

Grazie

[Martino]

Ciao, scusate l'intrusione, e non so se quello che scrivero' sara' del tutto pertinente

Continuo a non capire: che cosa serve tutto sto giro? Perchè le sottobasi?

Per economia di pensiero. Per esempio una sottobase che genera la topologia usuale di \( \displaystyle \mathbb{R} \) e' quella che consiste degli intervalli aperti del tipo \( \displaystyle ]a,b[ \) . Un risultato che fa apprezzare il concetto di sottobase e' il seguente. Prendiamo X spazio topologico e S una sua sottobase. Allora X e' compatto se e solo se ogni ricoprimento aperto che consiste di elementi di S ammette un sottoricoprimento finito. In pratica il concetto di compattezza si puo' verificare usando ricoprimenti formati da aperti di una fissata sottobase. Attenzione: la dimostrazione di questo fatto non e' evidente (almeno, credo). Una volta un mio amico me ne aveva mostrata una bellissima usando un linguaggio solo algebrico, ma l'ho dimenticata. Ci penso.

[Paolo90]

Martino, sai che le tue "intrusioni" sono sempre benvenute!

Capisco ciò che dici e sono consapevole del fatto che di molte cose non posso comprendere fino in fondo l'essenza, visto che sono ancora all'inizio. Effettivamente, questo legame con la compatezza è interessante.

Però il tuo intervento mi solleva un nuovo quesito: tu dici che una sottobase della topologia standard di $RR$ è quella formata dagli intervalli $(a,b)$. Eh, ma questa è anche un base! Devo dedurre forse che ogni base è anche una sottobase?

Ci devo pensare, non riesco proprio a capire.

[Martino]

No, infatti mi sono appena accorto che quella li' e' anche una base, potrei dirti che l'insieme degli aperti del tipo \( \displaystyle ]a,+\infty[ \) oppure \( \displaystyle ]-\infty,b[ \) formano una sottobase (e non una base), e questo e' vero, ma a questo punto la cosa ti puo' sembrare artificiale.

In realta' il primo esempio chiaro in cui ti accorgi della grande utilita' delle sottobasi e' proprio la topologia prodotto. Prendi \( \displaystyle X_1 \times X_2 \) prodotto di spazi topologici, e chiama \( \displaystyle \pi_1,\pi_2 \) le due proiezioni. Per definizione la topologia prodotto ammette come sottobase la famiglia di aperti del tipo \( \displaystyle \pi_i^{-1}(U_i) \) con \( \displaystyle i=1,2 \) e \( \displaystyle U_i \) aperto di \( \displaystyle X_i \) . Questa in generale non e' una base perche' \( \displaystyle \pi_1^{-1}(U_1) \cap \pi_2^{-1}(U_2) \) in generale non si puo' esprimere come \( \displaystyle \pi_1^{-1}(U) \) oppure \( \displaystyle \pi_2^{-1}(V) \) (non c'e' nessuna ragione per cui questo dovrebbe succedere). Ora per arrivare al tuo esempio, e' chiaro che la topologia prodotto rende le proiezioni continue (per definizione, no?). Mostriamo che la topologia prodotto e' contenuta in tutte le topologie che rendono continue le proiezioni (questo e' quello che dobbiamo mostrare). Prendiamo una topologia \( \displaystyle T \) su \( \displaystyle X_1 \times X_2 \) che renda le proiezioni continue. Allora tutte le cose della forma \( \displaystyle \pi_i^{-1}(U_i) \) (con \( \displaystyle U_i \) aperto di \( \displaystyle X_i \) ) devono appartenere a \( \displaystyle T \) , e quindi tutta la topologia da essi generata (cioe' l'intersezione delle topologie che li contengono, cioe' la topologia prodotto!) deve essere contenuta in \( \displaystyle T \) .

Forse e' piu' utile (limitatamente a questo contesto) che non pensi in termini di sottobasi ma di insiemi di sottoinsiemi che generano una topologia.

PS. Mi scuso per eventuali imprecisioni, spero che si sia capito quello che voglio dire

[Paolo90]

Sei sempre un grande

Grazie, le cose cominciano ad andare a posto.

No, infatti mi sono appena accorto che quella li' e' anche una base, potrei dirti che l'insieme degli aperti del tipo \( \displaystyle ]a,+\infty[ \) oppure \( \displaystyle ]-\infty,b[ \) formano una sottobase (e non una base), e questo e' vero, ma a questo punto la cosa ti puo' sembrare artificiale.

L'insieme degli aperti del tipo \( \displaystyle ]a,+\infty[ \) costituisce una sottobase di $RR$ (con la topologia standard) perchè essi formano un ricoprimento di $RR$. Forse ci sono.

Io so che una famiglia $ccB$ di sottoinsiemi di $X$ è base di una topologia (unica) se e solo se:

1. $ccB$ è un ricoprimento di $X$;
2. l'intersezione di due elementi di $ccB$ è unione di elementi di $ccB$

Chiamo sottobase una famiglia che verifica la prima di queste due condizioni: giusto? Se verifica anche la seconda allora sono a posto e ho una base, altrimenti no.
Se è così, allora vale ovviamente quanto dicevo prima: una base è anche una sottobase.

In realta' il primo esempio chiaro in cui ti accorgi della grande utilita' delle sottobasi e' proprio la topologia prodotto. Prendi \( \displaystyle X_1 \times X_2 \) prodotto di spazi topologici, e chiama \( \displaystyle \pi_1,\pi_2 \) le due proiezioni. Per definizione la topologia prodotto ammette come sottobase la famiglia di aperti del tipo \( \displaystyle \pi_i^{-1}(U_i) \) con \( \displaystyle i=1,2 \) e \( \displaystyle U_i \) aperto di \( \displaystyle X_i \) . Questa in generale non e' una base perche' \( \displaystyle \pi_1^{-1}(U_1) \cap \pi_2^{-1}(U_2) \) in generale non si puo' esprimere come \( \displaystyle \pi_1^{-1}(U) \) oppure \( \displaystyle \pi_2^{-1}(V) \) (non c'e' nessuna ragione per cui questo dovrebbe succedere).

Sì, ho capito: è come dicevo io sopra, questa famiglia ricopre $X_1 times X_2$ ma non va d'accordo con l'intersezione (con la proprietà 2 di cui sopra).

Ora per arrivare al tuo esempio, e' chiaro che la topologia prodotto rende le proiezioni continue (per definizione, no?).

Sì, certo.

Mostriamo che la topologia prodotto e' contenuta in tutte le topologie che rendono continue le proiezioni (questo e' quello che dobbiamo mostrare). Prendiamo una topologia \( \displaystyle T \) su \( \displaystyle X_1 \times X_2 \) che renda le proiezioni continue. Allora tutte le cose della forma \( \displaystyle \pi_i^{-1}(U_i) \) (con \( \displaystyle U_i \) aperto di \( \displaystyle X_i \) ) devono appartenere a \( \displaystyle T \) , e quindi tutta la topologia da essi generata (cioe' l'intersezione delle topologie che li contengono, cioe' la topologia prodotto!) deve essere contenuta in \( \displaystyle T \) .

Avevo provato anche io a pensarla così (d'altra parte essere meno fine vuol proprio dire questo!). Ma non riuscivo a concludere. Ora è tutto decisamente più chiaro, ero bloccato proprio all'inizio. Il tuo esempio mi ha salvato
Grazie mille

[Paolo90]

Detto in altro modo (come fa il Munkres), la famiglia $S=p_1^-1(T_1) uu p_2^-1(T_2)$ è una sottobase di una topologia di $X times Y$ poichè risulta esserne un ricoprimento.

Chiamo $ccT'$ la topologia generata da questo insieme (da questa sottobase); $ccT'$ è quindi data dalle unioni di tutte le intersezioni finite di $S$. Mostriamo che $ccT'=ccT_p$, dove $ccT_p$ è la topologia prodotto.

$ccT' subseteq ccT_p$ perchè ogni elemento di $S$ sta anche in $ccT_p$ e, di conseguenza, anche le unioni di intersezioni finite di elementi di $S$ (cioè elementi di $ccT'$) stanno in $ccT_p$.

Viceversa, preso un aperto qualsiasi della base di $ccT_p$, sia esso $A times B$, risulta $A times B = p_1^-1(A) nn p_2^-1(B)$ (infatti, $(A times Y)nn(X times B) = (A times B) nn (X times Y) = A times B$) e quindi sta anche in $ccT'$; la proprietà è provata su una base quindi vale per tutti gli aperti. Ne segue $ccT_p subseteq ccT'$.

In definitiva, $ccT' = ccT_p$.

[dissonance]

Sono contento che anche Martino abbia voluto portare l'attenzione sul concetto di sottobase. Io sono d'accordo con lui sul fatto che la topologia prodotto sia il primo esempio di applicazione delle sottobasi, e aggiungo che questo si apprezza ancor di più quando si passa a considerare prodotti infiniti, come è spiegato davvero molto bene sul libro di Munkres (ah a proposito: dimenticavo di dire che i paragrafi dedicati alla topologia prodotto in realtà sono due, uno parla di prodotti finiti, l'altro di prodotti in generale).

Comunque vorrei dire la mia su questo:

Leggo che una sottobase S è una famiglia di parti di X che ricopre X.

Certo. Ma è meglio dire che "una sottobase $S$ della topologia $\tau$ sullo spazio $X$ è una famiglia di aperti tale che ogni aperto $U$ di $X$ si può realizzare prendendo intersezioni finite e unioni di aperti di $S$". E questo concetto apparentemente strano è in realtà il più naturale possibile: una topologia è una famiglia di parti chiusa proprio rispetto alle intersezioni finite e alle unioni, quindi quello che richiedi è che $S$ sia sufficientemente ricco da generare $tau$ per mezzo di queste operazioni.
Esattamente come, quando si ha uno spazio vettoriale (i.e. una struttura algebrica chiusa rispetto alle combinazioni lineari) richiedere che un sottoinsieme sia un sistema di generatori significa richiedere che esso sia sufficientemente ricco da generare lo spazio totale per mezzo di combinazioni lineari.

In questo senso assegnare una topologia partendo da una sottobase è come assegnare uno spazio vettoriale partendo da un sistema di generatori. Risulta poi che, affinché si possa fare questa costruzione, è necessario e sufficiente che la famiglia assegnata sia un ricoprimento di $X$: ok, ma non pensiamo al termine "sottobase" come ad un sinonimo di "ricoprimento", perché in realtà è molto di più.

[Paolo90]

Bella spiegazione, dissonance.

Il parallelo con gli spazi vettoriali mi ha aiutato non poco. Ora credo di aver capito, la questione mi pare decisamente più limpida.
Naturalmente, l'esempio cardine che mi porterò dietro è quello di $RR$: una sottobase è data dagli intervalli aperti illlimitati, $(a,+oo)$: infatti, posso realizzare ogni aperto di $RR$ come intersezione finita o unione di questi intervalli.

Vi ringrazio molto