Identità trigonometriche

[giannirecanati]

Stavo cercando su wikipedia da dove derivasse questa identità trigonometrica

\( \displaystyle cos20\cdot cos40\cdot cos80=1/8 \)

Ho trovato questo:



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Ma cosa significa? Potete chiarirmi le idee?
Grazie in anticipo!

[Gi8]

Interessante proprietà Non l'avevo mai notata.
Si può "facilmente" dimostrare per induzione su $k$ (bisognerà sfruttare la formula di duplicazione del seno: $sin(2x)=2cos(x)sin(x)$)
Da quella proprietà si ha come caso particolare proprio $cos(20)*cos(40)*cos(80)=1/8$, ponendo $x=20$ e $k=3$
Infatti $cos(20)*cos(40)*cos(80)=prod_(j=0)^(2) cos(2^j*20)=sin(8*20)/(8*sin(20))=sin(160)/(8*sin(20))=1/8*(sin160/sin20)$
Ora, $sin(160)=sin(180-20)$ e noi sappiamo che $sin(180- alpha)=sin(alpha)$. Dunque, $sin160/sin20=1$, da cui la tesi.

[giannirecanati]

E' giusta la dimostrazione?
\( \displaystyle sen(2^kx)=2^kcos(x)sen(x) \)

ma dove sbuca fuori quel \( \displaystyle 2^j \) , in \( \displaystyle cos(2^jx) \) del primo membro?
Non ho capito, infatti, la scrittura al primo membro: con \( \displaystyle j=0 \) comparirebbe soltanto \( \displaystyle cos(20) \) e da dove viene fuori la restante parte dei fattori (ossia \( \displaystyle cos(40)*cos(80) \) )?

[Gi8]

Guarda che

$prod_(j=0)^(2) cos(2^j*20)$

significa $cos(2^0*20)*cos(2^1*20)*cos(2^2*20)=cos(1*20)*cos(2*20)*cos(4*20)=cos(20)*cos(40)*cos(80)$

[giannirecanati]

Grazie mille, ora è tutto chiaro!