Formula di Grassmann

Messaggioda melli13 » 04/02/2011, 19:32

La formula di Grassmann può essere usata solo con due sottospazi vero?perchè ho provato a usarla con tre, in questo modo:
$dim(U+V+W)=dimU+dimV+dimW-dimUnnVnnW$
ma diciamo che esce fuori un assurdo...
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Messaggioda Alextorm » 04/02/2011, 19:39

Così a intuito dovrebbe essere qualcosa del genere:
\( \displaystyle \dim (V+W+U) = \dim V + \dim W + \dim U - \dim (V \cap W) - \dim (V \cap U) \) \( \displaystyle - \dim (W \cap U) + \dim(V \cap W \cap U) \) .
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Messaggioda melli13 » 04/02/2011, 20:56

Grande.....così esce....:)!MA come fai...?
e vale anche al contrario...?
$dim(VnnWnnU)=dimV+dimW+dimU-dim(U+W)-dim(U+V)-dim(V+W)+dim(V+W+U)$
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Messaggioda Matthia » 04/02/2011, 23:02

Mi spiace fare il guastafeste, ma tutte le formule sono sbagliate... anche quella di Alextorm, ne sono sicuro. Il mio prof ci ha lasciato come esercizio quello di trovare un controesempio, ma proprio non ci riesco: aiutino?
Vorrei confrontare la situazione con quanto accade per la formula per calcolare la cardinalità dell'unione di tre insiemi finiti qualsiasi: sostituendo nella formula di Alextorm a dimensione cardinalità e a somma tra spazi vettoriali unione, si ottiene questa:
\( \displaystyle \left |A\bigcup B\bigcup C \right | = \left |A \right | + \left |B \right |+\left |C \right | - \left |A \bigcap B \right | - \left |A \bigcap C \right | - \left | B \bigcap C \right | + \left | A \bigcap B \bigcap C \right | \)
che è giusta, ma che funziona perchè nella dimostrazione si usa il fatto che intersezione e unione distribuiscono tra loro. Invece somma tra spazi vettoriali e intersezione non distribuiscono tra loro e quindi il parallelismo salta. Una estensione della formula di Grassmann per la somma di tre sottospazi io la ricavo così:
(penso prima A + B come un unico sottospazio e mi riconduco alla formula nel caso di due soli sottospazi)
\( \displaystyle \dim(A+B+C)=\dim(A+B) + \dim(C) - \dim((A+B)\bigcap C) \)
e ora \( \displaystyle dim(A+B) \) lo esplicito con la formula solita, mentre il pezzo "brutto" che coinvolge somma e intersezione lo lascio indicato, perchè se somma e intersezione distribuissero tra loro potrei scrivere
\( \displaystyle (A+B) \bigcap C = (A \bigcap C) + (B \bigcap C) \) (falso!!)
e sviluppando ancora otterrei la formula (sbagliata) scritta da Alextorm. Però questo non dimostra che la formula è falsa, avrei bisogno di un controesempio! Ne ho provati tanti a caso ma tutti hanno fallito... Aiutino? Anzi più che avere i numeri, mi interesserebbe sapere come ci si può arrivare...

P.S: l'ultima formula di melli13 anche quella mi sa che è sbagliata, basta un controesempio qualunque per confutarla
P.S II: scusate ma sono nuovissimo e non so ancora scrivere le formule, prometto di imparare presto!

[Edit: come promesso, ho imparato e modificato :)]
Ultima modifica di Matthia il 11/02/2011, 17:18, modificato 2 volte in totale.
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Messaggioda dissonance » 05/02/2011, 02:39

Sai che con questo mi mandi un po' in crisi, Matthia? In effetti credevo che il principio di inclusione-esclusione si potesse usare come modello per una formula di Grassmann con più di due sottospazi. Invece tu sostieni che non è così? Infatti mi sa che hai ragione, perché trovo scritto qualcosa di analogo anche su Cailotto, problema 6.1.3.

Magari se scrivessi per bene le formule (clic per istruzioni), il tuo post guadagnerebbe molta leggibilità.
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Messaggioda Matthia » 05/02/2011, 11:17

Esatto, mi sono basato proprio sul Cailotto, Problema 6.1.3. (in cui per l'appunto si dice di trovare un controesempio a quella formula, ma non si accenna purtroppo ad un'idea su come fare) e Mancata distributività 2.5.2. Ripensandoci, credo che Mancata distributività sia la chiave per trovare il controesempio, ma al momento non mi viene proprio in mente il modo per applicare questa idea.

Fortunatamente però se i sottospazi sono in somma diretta la dimensione della somma è la somma delle dimensioni!

P.S: @dissonance
sì hai ragione, appena ho un po' di tempo imparo e sistemo il post!
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Messaggioda Alextorm » 05/02/2011, 13:06

Hai proprio ragione matthia, mi sono fatto fregare...
Provo a costruire un controesempio "grafico": se prendo tre rette in \( \displaystyle \mathbb{R}^2 \) che si intersecano solo nell'origine, ovvero tre sottospazi di dimensione 1, la loro somma è \( \displaystyle \mathbb{R}^2 \) , che ha dimensione 2, mentre con la formula sbagliata si dovrebbe ottenere uno spazio di dimensione 3.
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Messaggioda Matthia » 05/02/2011, 14:35

Grazie! Ragionare per via "grafica" su R3 è sicuramente molto meglio che sparare coordinate a caso come ho provato a fare io :D e anche più intuitivo di concentrarsi sulla mancata distributività.
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Messaggioda melli13 » 05/02/2011, 19:25

Grazie a tutti.....:)!Matthia complimenti...:)!!
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Messaggioda Matthia » 05/02/2011, 23:00

Felice di essere stato utile :D
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